Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
которых содержит в правой стороне равенств множитель ( + л), а другая ( —
п). Это доказывает высказанное выше утверждение. •
Если заметить, что теория, описываемая лагранжианом X = Х0-С Xi [где Xi —
линейная комбинация любых из четырех выражений (10.28)], инвариантна
относительно калибровочных преобразований i|) —^ [ехр (га)] яр, ф —?»
[ехр (— га)] ф, так что величина [фуд, ф] сохраняется, [фу11, ф] = 0,
то можно провести дальнейшее упрощение. Теперь член лагранжиана
взаимодействия [фУд, ф] 0м" ф можно переписать в виде
д>Х ((ФУм>Ф] ф) - (<^[фУм, Ф1) Ф>
что равно ([ф y^, ф] ф) в силу указанного выше закона сохранения (или
эквивалентно как следствие уравнений движения).
Остающийся член имеет вид 4-дивергенции. Мы отмечали ранее, что два
лагранжиана, отличающиеся на 4-дивергенцию, приводят к одним и тем же
уравнениям движения и поэтому эквивалентны. Нам не нужно, следовательно,
рассматривать векторную связь. Укажем также, что член с векторной связью
может быть удален при помощи унитарного преобразования [597]1). Таким
образом, мы приходим к выводу, что в локальной теории, инвариантной
относительно преобразований Лоренца и преобразования СР, допустимы только
такие лагранжианы взаимодействия между бозонным полем ф со спином, равным
нулю, и спинорным полем ф, которые имеют вид
= ^ G Ж*), Ф (ж)] ф (ж), (10.29а)
или
Xi = yG 1[ф(ж)у5, Ф(ж)] ф(ж)-1-уС2[ф(ж)у5Уд, Ф(ж)]^ф(ж), (10.296)
1) В отличие от этого, предыдущее рассуждение автора не корректно, так
как в лагранжиане нельзя использовать следствий из уравнений движения.—
Прим .ред.
264
Гл. 10. Взаимодействие между полями
если ограничиться трилинейными связями. Интересно отметить, что эти
ограничения на вид взаимодействий, вытекающие из С.Р-инвариантности, в
точности такие же, как и вытекающие из сохранения четности, т. е. из
требования, чтобы лагранжиан был инвариантен относительно операции Up в
отдельности. В этом случае скалярное взаимодействие тоже не смешивается с
псевдоскалярным или псевдовекторным.
В точности такие же рассмотрения применимы к случаю взаимодействия между
вещественным бозонным векторным полем фд со спином, равным 1, и спинорным
полем ф. Локальные взаимодействия в Xj должны быть образованы путем
комбинации спинорных ковариантов и или F^ — d^cpv — дуСрц. Эти величины
преобразуются при Upc согласно
^СРфцИ Ucp = n'eVt(pil(isx) (10.30а)
и
UCp V (х) Ucp = п F (is х). (10.306)
Скалярные лагранжианы взаимодействия фу^ффй, ?фуйУ5ффц5 фа^ф/^ и фнв'’
(причем o^v = (l/2i) [у*1, yv]), преобразуются при операции
СР по правилам
Ucp [if (х) у в, ф (х)] ф^ (х) U~cp=- — п [ф (is х) ув, ф (С а;)] фц
(isx),
(10.31а)
Ucp [ф (х) у^у5, ф (я)] фц (х) Ucp = — п' [ф (is х) ув у5,ф (is х)] фй
(is х),
(10.316)
’ ?/ср[ф (а:) ог^,ф(х)] F^v(x) С/ср= — п [ф (is х) о^,ф (is х)] (is х),
(10.31 в)
UCp [ф (х) o^v у5,ф (х)] FtLV (х) Ucp = n' [ф (is х) у5,ф (isx)] F^
(isx).
(10.31г>
Таким образом, лагранжиан взаимодействия может либо состоять из линейной
комбинации членов вида фуйфф^, 1]Юц%.ф/ли' и Ф'УцУбФ'Ф", либо иметь вид
фа^У511^1П’-
В заключение этого параграфа мы проведем краткое исследование требований,
налагаемых лоренцевой и СР-инвариантностями на структуру свободных
(невзаимодействующих) полей (см., например, работу Соловьева [735]).
Используя соотношения (10.27), легко установить, что наиболее общий
локальный лагранжиан для свободного дираковского поля, который
инвариантен относительно преобразований Лоренца и операции СР и является
билинейной комбинацией фиф, дается выражением
X (х) = ^ ia (ф (х) ув дфф (х) — дц ф (х) ув ф (х)) +
+ у ъ (Ф И ЧъЧ^ <Зйф (х) — бдф (х) УбУ^ф (X)) — Y т [ф (х), ф (х)],
(10.32).
где а и Ъ — вещественные постоянные, а множитель i введен для обеспечения
эрмитовости X (х). Ясно, что этот лагранжиан не инвариантен относительно
пространственного отражения, так как при операции Up меняют знак члены,
содержащие у5. Из этого лагранжиана для операторов поля фиф следуют
уравнения движения
(— гГ11 + т) ф (х) = 0, (10.33а)
§ 3. Электромагнитные, взаимодействия
265
.где
1’н = (а — И>уъ) уй. (10.336)
Требование, чтобы Ф (я) описывало частицы с массой т, может быть выражено
как требование, чтобы т|; (ж) удовлетворяло уравнению
(П+»г2)Ф = 0. (10.34)
Поэтому матрицы должны удовлетворять перестановочным соотношениям
fafv _|_ rvI> = 2g^v. (10.35)
Подстановка выражений (10.336) в (10.35) с учетом известных
перестановочных соотношений для у^, у5, а именно [уи, yv]+ = 2yiv и
[уНу5]+ = 0, показывает, что если а2— Ь2=1, то соотношения (10.35) и
(10.336) будут удовлетворены. В этом случае (10.33а) будет просто
«обычным» уравнением Дирака с другим представлением у-матриц. Ясно, что
частным выбором а и Ь, удовлетворяющим уравнению а2 — 62=1, будет а = У2,
6 = 1.
Отметим, наконец, что релятивистски и СР-инвариантный лагранжиан для
заряженного бозонного поля записывается в виде
X = — уц2[ф*(х), <p(z)]+-f у [<Vp* (я), а^ф(а:)]+, (10.36)
