Природа и греки - Шредингер Э.
ISBN 5-93972-096-Х
Скачать (прямая ссылка):
Самый простой способ — это отложить р и q вдоль прямой линии, затем построить перпендикуляр в точке, где они соединяются (ЛГ) и пересечь его (в С) окружностью с центром в точке О (средняя точка р + q), проходящей через конечные точки А и В отрезка р + q. 36
Глава 1
P Ч
Рис. 1
Тогда пропорция (3.1) следует из факта, что ABC — прямоугольный треугольник, при этом С является «углом полуокружности»; который делает три треугольника ABC', ACN, CNB геометрически подобными. В наших треугольниках показаны еще два «геометрических средних», а именно, обозначая р + q = с, гипотенуза
q : b = Ъ : с, поэтому b2 = qc,
р : а = а : с, поэтому а2 = рс.
Отсюда следует
a2 + b2 = (p + q)c = c2, что является простейшим доказательством теоремы Пифагора.
Пропорция (3.1) могла также встречаться у пифагорейцев в совершенно ином окружении. Если р, q, х являются длинами, которые вы откладываете на одной и той же струне с помощью опорных стоек, или просто давлением пальца, как это делает скрипач, тогда х вызывает тон «в середине» тонов, создаваемых р и q; музыкальные интервалы от р до X и от X до q одинаковы. Это может легко привести к задаче разделения заданного музыкального интервала более, чем на две равных ступени. На первый взгляд, она, по-видимому, уводит от гармонии, так как даже если исходное соотношение р : q было рациональным, то вставляемые ступени таковыми не будут. И все же именно этот способ включения используется при равнотемпированной настройке пианино с двенадцатью ступенями. Это компромисс, осуждаемый с точки зрения чистой гармонии, но его едва ли можно избежать в инструменте со стандартными тонами.
Архит (известен также своей дружбой с Платоном в Таренте примерно в середине четвертого века) геометрически решил следующий Пифагорейцы
37
случай нахождения двух геометрических средних (Svo цесгая ava. Ad-7ov evpetv) или разделения музыкального интервала на три равных ступени. С другой стороны, эта задача означает нахождение геометрически кубического корня заданного соотношения q/p. В последней форме — извлечение кубического корня — она была известна как де-лосская задача2; жрецы Апполона на острове Делос однажды обязали одного оракула удвоить величину их священного камня. Этот камень был кубом, а куб удвоенного объема должен был бы иметь грань в \[2 раза больше заданной.
В современных обозначениях задачу можно записать как
р : X = X : у = у : q, (3-3)
из чего указанным выше способом выводим
X1 = ру, ху = pq. (3.4)
Умножая член на член и сокращая множитель у, имеем:
(3.5)
X3 = р2 q =P3q
р і
Ч
Рис. 2
2B значении «трудная задача». — Прим. перев. 38
Глава 1
Решение Архита равносильно повторению построения, приведенного выше, но с использованием второго типа пропорции, упомянутого ранее, который здесь эквивалентен
р : X = X : у и х : у = у : q.
Однако это только конечный результат построения Архита, которое тщательно разработано в пространстве с использованием пересечений сферы, конуса и цилиндра; это действительно столь сложное построение, что в моем (первом) издании книги Дильса Досократики (Presocratics) рисунок, который предназначался для иллюстрации текста, оказался полностью ошибочным. Конечно, приведенный выше, на первый взгляд, простой рисунок нельзя построить сразу с помощью циркуля и линейки на основе имеющихся данных р и q. Причина заключается в том, что с помощью линейки вы только сможете начертить прямые линии (кривые первого порядка), с помощью циркуля только окружность, которая является частной кривой второго порядка; но чтобы извлечь кубический корень, должна присутствовать заданная кривая, по крайней мере, третьего порядка. Архит весьма изобретательно замещает ее этими кривыми пересечения. Его метод решения не является сверхсложным, как это может показаться, он лишь указывает на тот уровень мастерства, которого он достиг примерно за полвека до Евклида.
Последним моментом в учении пифагорейцев, который мы здесь рассмотрим, является их космология. Она представляет для нас особый интерес, поскольку обнаруживает неожиданную рациональность мировоззрения, изобилующего необоснованными, предвзятыми идеалами совершенства, красоты и простоты.
Пифагорейцы знали, что Земля является сферой, и, вероятно, именно они первыми узнали об этом. Скорее всего этот вывод они сделали исходя из круговой тени Земли на Луне при лунных затмениях, которые они объясняли более или менее верно (см. далее). Их модель планетарной системы и звезд схематично и кратко показана на следующем рисунке.
Сферическая земля за двадцать четыре часа совершает оборот вокруг неподвижного центра Ц. о. (Центрального огня, но не Солнца!); к этому центру она всегда обращена одним и тем же полушарием (как Луна к нам), которое является необитаемым, потому что там слишком Пифагорейцы
39
необитаемое Ц. о. полушарие
Земля
неподвижные звезды
~ Oo
О
Антихтон
Антихтон обитаемое полушарие
Рис. 3
жарко. Предполагается, что девять сфер, расположенных относительно одного центр — Ц-0., несут: (1) Землю, (2) Луну, (3) Солнце, (4-8) планеты, (9) неподвижные звезды, при этом каждая вращается со своей особой скоростью. (Таким образом, выстраивание вдоль прямой линии, как на нашем рисунке, чисто схематическое; оно никогда не могло иметь место.) Существует еще десятая сфера, или, по крайней мере, десятое тело, антихтон3 или контр-Земля, в отношении которой не совсем ясно, находилась ли она по ту же сторону от Центрального огня, что и Земля, или по другую. (На нашем рисунке представлены обе возможности.) Во всяком случае, естественно предполагалось, что все три тела — Земля, Центральный огонь, контр-Земля — находятся всегда на прямой линии, поскольку антихтон никогда не был виден; он был необоснованным измышлением. Его могли выдумать ради священного числа десять, но он также был ответственен за такие лунные затмения, которые возникали, когда и Солнце, и Луна были видны в противоположных точках очень близко к горизонту. Это возможно, потому что вследствие отражения лучей в атмосфере мы видим заходящую звезду, хотя в действительности она уже в течение нескольких минут находится ниже линии горизонта. Так как это явление не было известно, то такие затмения могли представлять трудность, которая привела как к необходимости придумать антихтон, так и к предположению, что Центральный огонь освящает не только Луну, но и Солнце, планеты и неподвижные звезды, и что лунные затмения создаются тенью Земли или антихтона в свете Центрального огня.
