Симметрии и законы сохранения в физике - Шмутцер Э.
Скачать (прямая ссылка):
Ua = 1, (6.1.9)
122
Глава 6
откуда далее ввиду унитарности U следует и эрмитовость этого оператора
U = U+. (6.1.10)
Это гарантирует полноту системы кет-векторов | w).
Если же оператор SB обладает собственными значениями w = ±я/2, ±Зя/2, . . ., то оператор U в силу равенства
U I w) = в I w) = е™ I w) = ± і I w) обладает мнимыми собственными значениями + і • Тогда
U2=-I, (6.1.11а)
и оператор U является антиэрмитовым:
U+=-U. (6.1.116)
Чтобы явно выразить оператор U или SB при дискретных преобразованиях, удобно воспользоваться следующей операторной формулой:
UaU+ = eiS2te-iaB=2r + ;[2B, Sf]+ -J [2В, [2В, Sf]] + ... .
(6.1.12)
Проблема явного выражения подобных операторов была почти одновременно рассмотрена рядом авторов [10].
§ 2. Квантовая механика (без учеша спина)
Здесь нам предстоит рассмотреть трансформационный аспект нерелятивистской квантовой механики относительно дискретных преобразований Лоренца: пространственного отражения, которое будет обозначаться линейным оператором IP (оператором пространственной четности), и обращения времени, изображаемого антилинейным оператором ЛГ. Ради простоты мы обратимся к задаче одной частицы. Иногда мы будем обращаться к классической теории, разобранной в гл. 4, § 2.
Дискретные симметрии в квантовой теории
123
А. Пространственное отражение
Гейзенберговское представление
Потребуем, чтобы оператор аТ5 был унитарным и эрмитовым:
a) ^+ = б) ^+ = &>, т. е. 3» = 1. (6.2.1)
Из принципа соответствия с классической теорией на основании поведения координат и импульса (4.2.39) мы заключаем, что
а) Om,'= ^5Оц^5+= — Оц,
б) ^ = ^V+=-?,
где рассматриваются декартовы компоненты. Для операторного тензора момента импульса в соответствии с (4.2.42) следует формула
SVv-= = SVv. (6.2.3)
Гейзенберговские перестановочные соотношения (5.6.20) оказываются инвариантными при пространственном отражении, что можно проверить непосредственной подстановкой (6.2.1).
Умножая соотношения (6.2.2) слева на &Р, а справа на оР+, получаем
a) 05?^2=?, б) = SfSli (6.2.4)
в соответствии с (6.2.16).
Из равенства (6.2.16) следует, что
SP имеет собственные значения ±1. (6.2.5)
Полагая, что действует такой потенциал, при котором оператор Гамильтона форм-инвариантен относительно пространственного отражения
H' = &Н{Q11, t) = H (iV.SV, t) = H (Q11, SfSll, о,
(6.2.6)
получаем
\Н, ^]= О, т. е. ^-= 0. (6.2.7)
Это соотношение свидетельствует о наличии у операторов Ц и IP в данном случае общих собственных векторов
124
Глава 6
состояния, т. е. об одновременной измеримости этих операторов.
Соответствующие уравнения для собственных значений имеют тогда вид
a) HI т.) =Ет\т), 6)#|m)=±|m). (6.2.8)
Состояния с пространственной четностью +1 называют четными, а состояния с пространственной четностью —1 — нечетными.
Из закона преобразования оператора Гамильтона (6.2.6) можно сделать заключение о форм-инвариантности уравнений движения (5.6.23) и (5.6.24) для операторов и форм-инвариантности уравнений для собственных значений (6.2.8).
Для некоторого произвольного состояния с вектором I Ф ) имеет место закон преобразования
I ф>' = & I ф). (6.2.9)
Смысл его правой части становится ясным, если произвести фурье-разложение 1 Ф ) по векторам собственных состояний и учесть при этом уравнения (6.2.8).
Уравнение движения для вектора произвольного состояния (5.6.25) при пространственном отражении переходит в уравнение
^^- = 0. (6.2.10)
Таким образом, уравнение движения (5.6.25) верно и для преобразованного вектора состояния. В этом смысле уравнения движения для векторов состояния форм-инва-риантны.
Шрёдингеровское представление
Форм-инвариантность гейзенберговских перестановочных соотношений и уравнений движения (5.6.34) для
операторов, а также уравнений для собственных значе-
пий нами уже показана. Уравнение Шрёдингера (5.6.35)
Дискретные симметрии в квантовой теории
125
(в котором для простоты отброшены черточки над буквами)
Н\Ф) = і/г —(6.2.11)
при умножении слева на аТ5 и учете (6.2.6) переходит в #|ф)' = г7г-^1. (6.2.12)
Следовательно, преобразованный вектор состояния эволюционирует в соответствии с уравнением Шрёдингера для исходного вектора.
Б. Обращение времени
Обращение времени обладает в корне иной природой, чем пространственное отражение. Законы преобразования, определяемые геометрическим характером операторов, не обеспечивают в случае обращения времени форм-инвариантности основных законов квантовой механики (в противоположность положению, имеющему место в классической механике). Эту картину мы и будем теперь изучать, ограничиваясь для простоты консервативными системами.
Гейзенберговское представление
Здесь также из соображений соответствия с классической теорией следует попытаться произвести обобщение формул классического обращения времени (4.2.44) следующим образом:
a) CV(О = GliW. 6) $„(*')=-$* (О (6.2.13)
или
а) Ог(0 = Од(-0. 6)5^)=-5^(-0. (6-2.14)
