Симметрии и законы сохранения в физике - Шмутцер Э.
Скачать (прямая ссылка):
(спин)дтт=^_ (3.3.13)
так что
jymni (орб) jymni (спин) jymni g
В связи с этим заметим, что многие авторы, отходя от формализма теоремы Нётер, определяют тензОр момента импульса в виде
Dmni = ^(TmiXn-TniXm) = - Dnmi (3.3.15)
с помощью симметричного тензора энергии-импульса. Прямым дифференцированием с привлечением (3.3.9) можно удостовериться, что наряду с (3.3.11) выполняется также закон
Dmni, і = 0. (3.3.16)
Тензор
Lil = cDilj, j, (3.3.17)
следующий при взятии дивергенции из общего тензора момента импульса Dili и снабженный множителем с, называют тензором вращающего момента (момента сили), обобщая соответствующее понятие механики х).
В гл. 1, § 6, мы упоминали о том, что наряду с нёте-ровским подходом к законам сохранения существует еще подход, основанный на уравнениях Киллинга (1.6.42). Эти уравнения принимают здесь вид
1т,п + 1п,т = 0, (3.3.18)
причем закон сохранения (1.6.43) переходит в
(ImTmn), п = 0. (3.3.19)
В пространстве Минковского при использовании галилеевых координат решение уравнений (3.3.18) имеет вид
= GLmi^i “Ъ (3.3.20)
х) Это определение не противоречит закону сохранения (3.3.11), так как предполагает незамкнутость системы (в дифференциальном смысле), т. е. неучет части действующих в ней факторов, дающих вклад в изменение момента импульса.— Прим. перев.
Непрерывные симметрии в частнорел. класс, теории поля 79
где требуется свойство антисимметрии [ср. с (3.2.8) и (3.1.9)]
&тп O^nm* (3.3.21)
Подставляя эти значения в (3.3.19), получаем ami (TmnXi), п + атТтп,п = 0.
Это равенство позволяет записать с помощью (3.3.15)
^amiDmin, п + атТтп,п = 0, (3.3.22)
откуда непосредственно следуют законы (3.3.9) и (3.3.16). Отсюда видно, что в частной теории относительности оба подхода к законам сохранения приводят к одним и тем же результатам.
Нам осталось рассмотреть еще первый дифференциальный закон сохранения (3.3.1), в котором мы для простоты также положим 60° = 0. Функциональную вариацию удобно представить в виде
WQ = iaeQvUT, (3.3.23)
где а — постоянный бесконечно малый параметр, а ейг — произвольные коэффициенты. Для простоты ограничимся однопараметрической группой симметрии. Определив общий 4-вектор плотности тока как
/а = Пй%г?/г, (3.3.24)
сведем (3.3.1) к уравнению непрерывности
Да = 0. (3.3.25)
§ 4. Интегральные законы сохранения
В этом параграфе мы рассмотрим интегральные законы сохранения, получающиеся при интегрировании дифференциальных законов (3.3.7) или (3.3.9), (3.3.11) или (3.3.16), а также (3.3.25).
При переходе к нашему частному случаю получаем из (1.7.17) частнорелятивистский 4-импулъс
Ps=J j Tsmdfm = ±- j Ts^dfi =
Уз OCl=COnst
= --^- j TsH^x. (3.4.1)
x4=COEISt
80
Глава З
Для 3-импулъса следует записать, согласно (1.7.20),
Р*=~Т J TvW^x, (3.4.2)
x4=const
а для энергии, согласно (1.7.21),
Ш =-сРк= j Tfd^x. (3.4.3)
ж-t—const
Из выражения (3.3.8) следует
Ts4 = (кан)Гя4 + + Жіт + т_
Ввиду антисимметрии (3.3.5) можно заменить суммирова-
ние от 1 до 4 по т на суммирование от 1 до 3 по (г:
77 = <кан>Т7 + (^1X + + ^ д ^
Тогда, подставляя это выражение в (3.4.1), можно свести интегрирование по трехмерному объему от дивергенциаль-ной величины к двумерному интегралу по поверхности, охватывающей этот объем; но в принятых предположениях поверхностный интеграл обращается в нуль, и вместо
(3.4.1) можно также записать
Ps=-^r j iKaH)Ts*d^x. (3.4.4)
JC1I=Const
Согласно (1.7.19), при этом выполняются интегральные законы сохранения 3-импульса
^ = 0 (3.4.5)
и энергии
«- = 0. (3.4.6)
Перейдем теперь к выводу интегрального закона сохранения момента импульса и интегрального закона центра масс. Для этого используем дифференциальный закон сохранения (3.3.11). По аналогии с прежними определениями интегральных величин (электрического заряда,
Непрерывные симметрии в частнорел. класс, теории поля 81
4-импульса) определим теперь интегральный тензор
момента импульса как
Jyu = -J-^DaIdfi= j DiUdl-3)x. (3.4.7)
V3 3C4=conSt
Вводя интегральный тензор орбитального момента
(орб)?іг = _1_ j (omDiiidfJ= ^ <орб)?)шс2(3)ж (3.4.8)
Уз KJ=Const
и интегральный тензор спинового момента (спин)?»г = _1_ j M0Uidf^ j JfbdMxt (3.4.9)
Уз ac4=const
можно записать также
Dii = (орб)jjll _ (спин)(3.4.10)
При интегрировании по трехмерному объему дифференциальный закон сохранения (3.3.11) дает интегральный закон
гЗПИ
T- = O. (3.4.11)
Прежде всего истолкуем пространственную часть D^v интегрального тензора момента импульса, для которой, согласно последнему уравнению, имеет место закон
4- = 0. (3.4.12)
Покажем, что эта сохраняющаяся величина соответствует обычному трехмерному понятию момента импульса. Она складывается из орбитальной и спиновой частей:
Jj\lV __ (орб)(CnHH)^JHV (3 4 13)
По определению
(орб) ?|дл> _ J (°рб) D^v^d(^x =
Kl=COnst
*4=ConSt
6-01350
j (-,,H(KaH)jtV ^v(KaH)nH) d(3>X,
82
Глава З
