Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
(37)
для s|v>1 *" Vft\)
v! = vx! ... vft!, ) v | = V-^ -ф- tv=tvp ... tl*.
Пусть также SgV) = s(viVft), mlv) = m|vivk),
§ 12 ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 309
Тогда представления (34), (35) примут следующий вид.
| V (
1ПфЕ(/)= 2 i?4v)*v + °(|/|"). (39)
|V|s?n
Следующая теорема и ее следствия дают формулы связи моментов и
семиинвариантов.
Теорема 6. Пусть с = (gj, ..., ck) - случайный вектор с М|^|л<оо, i = 1,
..., k, 1. Тогда для всех v = (vx, ..., vft)
с J v J ^ n
4V)= 2 <40>
\a,+=V p = 1
4V,= 2 <41>
A,(11+...+X,?l=v P = l
где 2 означает суммирование no всем упорядоченным
Xa, + ...+X(?,=v
наборам целых неотрицательных векторов Л<р>, | Х{р> | >¦ 0, дающих в
сумме вектор
Доказательство. Поскольку
Фб (0 = exp (In ф| (/)),
то, разлагая ехр по формуле Тейлора и учитывая (39), получим
П *1^1
<мо=1+2-^г( 2 Vs^T+o^i">- (42>
<7 = 1 \lsg|?l|s?n /
Сравнивая члены при Л в правых частях (38) и (42) и учитывая, что |
Я(1> | + ... + |А,1г> | = | + .. + |, получаем формулу (40).
Далее,
In ф| (/) = In
1+ 2 4гт^+°№
При малых г справедливо разложение
(43)
1п(1 + г)= 2 -J- zq + o^).
?=i
310 гл. II. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Применяя это разложение к (43) и приравнивая затем коэффициенты при t% с
соответствующими коэффициентами в правой части (38), получим формулу
(41).
Следствие 1. Справедливы следующие формулы, связывающие моменты и
семиинварианты:
m<v> = У --------------------1-------------------- - ТТ Г5р)1';,
{r^' + .-. + r^'-v} ^ ,Л ш) - •'* /="
(44)
у _______v!________х
1 {^-+...7^-=v} (W... <*<'>0''
хПГт^'У, (45)
i=i
где ? означает суммирование по всем неупорядо-
{/¦1Х'1, + ... + /-лХи>=у}
ченным наборам различных целых неотрицательных векторов АД, |АД|;>0 и по
всем упорядоченным наборам целых положительных чисел Гу таким, что
r1A,(1)-J-...-J-rxA,(-*) = v.
Для доказательства (44) предположим, что среди векторов АД), ..., АД),
участвующих в формуле (40), гг векторов равны A.W гх векторов равны
(гу>0, г1 + ...+ гЛГ = ^), причем все векторы различны. Существует ровно
- - у- различных наборов векторов, совпадающих с точностью до порядка с
набором {АД> АД)}. Но если два набора, скажем, {АД1,..., АД)}
<7
и {АД), ..., Х(?1}, отличаются лишь порядком, то П 4VP,) -
р = 1
q -( л
= ]^J s^' • Поэтому, отождествляя наборы, совпадающие с точ-
р= 1
ностью до порядка, из (40) получаем (44).
Аналогичным образом из (41) выводится формула (45). Следствие 2.
Рассмотрим тот частный случай, когда v = = (], ..., 1). В этом случае
моменты ... Е* и соот-
ветствующие семиинварианты будем называть простыми.
Формулы связи простых моментов и семиинвариантов получаются из
приведенных формул. Однако их удобнее записать по-другому.
Для этого введем следующие обозначения.
Пусть ? = (?i, ..., Ы - рассматриваемый вектор, /|={1, 2, ... k) -
множество индексов компонент этого вектора. Если / s ?= /|, то через tj
будем обозначать вектор, состоящий из тех
§ 12. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 311
компонент вектора индексы которых принадлежат I. Пусть X (I) - вектор
{хх, %п}, У которого х" = 1, если г е/, и х< = 0. если г'^/. Эти векторы
находятся во взаимнооднозначном соответствии с множествами I s /g.
Поэтому обозначим
(/) =т^(/", Sg (/) =
Иначе говоря, mg(/) и Sg(7) являются простыми моментами и
семиинвариантами подвектора вектора
Далее, назовем разбиением множества / неупорядоченный набор
непересекающихся непустых множеств Iр, такой, что ^ /р = /.
С учетом этих обозначений имеют место формулы
щ(1)= П56(/Д, (46)
? 'Р='р=1 Р= 1
(-1)^(д-1)!П т6(/Д. (47)
2: р=1
p=i
Для доказательства представления (46) обратимся к формуле (44). Если v =
x(^) и + + = то
все ?Д) различны, ?Jp>!=v! = 1 и каждому неупорядоченному набору {x(/i),
...1 %(Iq)} взаимнооднозначно соответствует раз-
17
биение / = 2 /р- Следовательно, из (44) следует (46).
р = 1
Аналогичным образом из (45) выводится справедливость представления (47).
Пример 1. Пусть ? - случайная величина (k=l) и тп =
= /П|1) = М?л, s" = sg°. Тогда из (40) и (41) получаем
следующие
формулы:
m1 = s1,
m2 = S2 H~S1>
m3 = s3-f 3s,s2-f s?, (48)
mi = s4 + 8s| -f- 4 sxs3 -f- 6s!s2 -f- s{,
и
"1 = mi = ME, s2 = пц - m\ - Dg,
s3 = m3 - 8m1m2-|-2/nJ, (49)
si = mi - 3m] - 4mlm3 + \ 2т]т.г - &т\.
312 гл II. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Пример 2. Пусть @4^ (т, а2). Поскольку, согласно (9),
/2аа
In (t) = itm g-,
то в силу (39) = m, s2 = o2 и все семиинварианты, начиная
с третьего, равны нулю, т. е. sn = 0, "2=3.
Заметим, что в силу теоремы Марцинкевича функция вида ехр (t), где <#*(/)
-полином, может быть характеристической только в том случае, когда
степень этого полинома не больше двух. Отсюда, в частности, вытекает, что
гауссовское распределение является единственным распределением,
обладающим тем свойством, что все его семиинварианты s", начиная с
некоторого номера, обращаются в нуль.
Пример 3. Если | - пуассоновская случайная величина с параметром Х>0, то,
