Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
где последнее равенство следует из того, что принимает лишь два значения:
0 или 1.
Заметим теперь, что М (?т | S") = М (gt | ^г1) и в силу теоремы 1 M(?t|
W1) = l1 = S"/n. Следовательно, на множестве {S"<n}
Р {S* <k для всех 1 \ S"} = 1 -
Теорема доказана.
Применим эту теорему для получения другого доказательства леммы 1 из § 10
и объясним' ее название как теоремы о баллотировке.
Пусть |х, ..., ?" независимые бернуллиевские случайные величины с
Sft = ?!+... + lk и а, Ь - целые неотрицательные числа такие, что а - Ь>
0, а + Ь = я. Покажем, что тогда
Р > 0, ..., S" > 0 | S" = а - Ь} =
= Р {Sx < 0..........S" < 01 S" = - (fl - b)) =
= Р {S^Т" 1 ^ П • • • > Sn-Ь^ <^-п \ Sn-\-п = п - (а - &)} =
= P{rii<l, .... rii + ... + Tin<ra|Tii + ... + Tin = re-(a-&)}==
Г. п - (а - Ь) ~1+_а - Ь а - Ь
[ п J п а + Ь'
где мы положили г]а = ?а + 1 и воспользовались равенством (12).
Из (15) очевидным образом выводится формула (10.5), установленная в лемме
1 § 10" с применением принципа отражения.
Р(^=1) = Р & = -!) = 1/2,
Р {Sx > 0, ..., S">0|S" = a -Ь}=
(15)
В самом деле, в силу симметрии
120 ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Будем интерпретировать ^ - +1 как голос, поданный на выборах за кандидата
А, а ^ = -1-за кандидата В. Тогда Sk есть разность числа голосов,
поданных за кандидатов А и В, если в голосовании приняло участие к
избирателен, а Р {5г 0, ... ..., Sn >0 | Sn = а - b\ есть вероятность
того, что кандидат А все время был впереди кандидата В, при условии, что
в общей сложности А собрал а голосов, В собрал b голосов и а - Ь> 0, а-\-
Ь = п. Согласно (15) эта вероятность равна (а - Ь)/п.
5. Задачи.
1. Пусть ^ s ... s - последовательность разбиений, j^o = {Q}; г]* - .^-
измеримая величина, l^k^n. Доказать, что последовательность ? = (?*, к) с
?л= 2 Ь\1~м (Лг I &l-iY\
i= 1
является мартингалом.
2. Пусть случайные величины гр, ..., цк таковы, что М(г)*|г),, ... ...,
r|ft.j) = 0. Доказать, что последовательность ? = (?*)i
с h = 4i и
k
Е/г+1 = Л'+l/i ("Hi> • • • > Д')>
[ - 1
где /у- некоторые функции, образует мартингал.
3. Показать, что всякий мартингал ? = (?*, 3'к) имеет некоррелированные
приращения: если a<_b <с <_d, то
cov {ld - lc, 1ь - \а) = 0.
4. Пусть ? = (&!, ..., Ы - некоторая случайная последовательность такая,
что %k ^й-измеримы (&\ s -22 2 - • • • - & ")• Доказать, что для того,
чтобы эта последовательность была мартингалом (относительно системы
разбиений (&к)), необходимо и достаточно, чтобы для любого момента
остановки т (относительно (22М|Т = М|1. (Выражение "для любого момента
остановки" можно заменить на выражение "для любого момента остановки,
принимающего два значения"),
5. Показать, что если ? = (!*, М k)\<k<.n - мартингал и т - момент
остановки, то для любого k
м [?"/<-с==*>] = М [1/Д{т="]-
6. Пусть ? = (?*, &к) И Т] = (г]й, &k)- два мартингала,
= tjj = 0. Доказать, что
П
Mi"n" = 2 м (gft -1*-!) (ri/, - ri*-i)
§ 12 МАРКОВСКИЕ ЦЕПИ
121
и, в частности,
М?Л= ? M(L-?*-i)2.
k ~2
7. Пусть г|1, ^ - последовательность независимых одина-
ково распределенных случайных величин, Мгр - 0. Показать, что
последовательности \ = (ЕА) с
% _еХРМЩ + ¦•• + •>)/;)
~k (М ехр Arp)*
являются мартингалами.
8. Пусть ту, цп - последовательность независимых одина-
ково распределенных случайных величин, принимающих значения в конечном
множестве У. Пусть /0 (у) = Р (гу = р), у eF и f1(y) - неотрицательная
функция с = Показать, что последо-
D<Ez У
вательность l = {lk, с ^4 = ^^..............^
t = /1 (Hi) • • ¦ fi (ш)
/оЫ-ЫЛ*)
образует мартингал. (Величины \k, называемые отношениями правдоподобия,
играют исключительно важную роль в математической статистике.)
§ 12. Марковские цепи. Эргодическая теорема.
Строго марковское свойство
1. В рассмотренной выше схеме Бернулли с Q = {со: со - = (лу, ...,
х"), Xj = 0,l} вероятность р (со) каждого исхода со задавалась формулой
р(<о) = р(х1)...р{х"), (1)
где p(x) = pxql~x. При этом условии случайные величины \1У ... • %п с
Е;(со) = Х; оказывались независимыми и одинаково распределенными с
Р (^ = х) = ... = Р (Ъп = х)=р(х), * = 0,1.
Если вместо (1) положить
P((r)) = Pl (Xl)...Pn (Хп),
где pi (х) = р* (1 - PiY~x, O^pt^l, то тогда случайные величины * *. |
In- также будут независимыми, но уже, вообще говоря,
122 ГЛ. Г. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
разнораспределенными:
Р (11 = х) = р1{х), .... Р (1п = х) = рп{х).
Рассмотрим теперь одно обобщение этих схем, приводящее к зависимым
случайным величинам, образующим так называемую цепь Маркова.
Будем предполагать, что
й = {со: со = (х0, М. •••> *п), х^Х},
где X - некоторое конечное множество. Пусть заданы также неотрицательные
функции р0(х), рг(х, у), ..., рп (х, у) такие, что
2 Ро м = 1.
X (ЕЕ. X-
2 Pk(x, у) = \, k = \ п;уеЕХ.
ye X
Для каждого исхода со = (х0, хг, хп) положим
p(co) = p0(x0)pi(x0, Xj.-.pniXn-v хп). (3)
Нетрудно проверить, что 2 Р(ю)=1 и> следовательно, набор
соей
этих чисел р (со) вместе с пространством й и системой всех его
