Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
= (Хп, - марковская цепь со значениями в фазовом пространстве (Е, Ш). В
том случае, когда Е - конечное или счетное множество (и ё-о-алгебра всех
его подмножеств), марковские цепи называют дискретными. В свою очередь
дискретные цепи с конечным фазовым пространством называют конечными
цепями.
Изложение теории конечных марковских цепей, данное в § 12 гл. I,
показывает, что в их исследовании особо важную роль играют переходные
вероятности Р (X"+i е В \ Хп) за один шаг. В силу теоремы 3 из § 7 гл. 11
существуют функции Рп+1 (х; В) - регулярные условные вероятности,
являющиеся при фиксированном х мерами на (R, (R)) и при фиксированном В
измеримыми
функциями по х, такие, что
Р (Хп+1 ^В\Хп)= Рп+1 (Хп-, В) (Р-п. н.). (4),
Функции -Рп = Рп (х; В), л^гО, называют переходными функциями и в том
случае, когда они совпадают (Р1 - Р2 - ...), соответствующую марковскую
цепь X принято называть однородной. (по времени).
Все дальнейшие рассмотрения будут вестись лишь для однородных марковских
цепей, а переходная функция Я1 = Я1(х; В)< будет обозначаться просто Р =
Р(х; В).
Наряду с переходной функцией важной вероятностной характеристикой
марковской цепи является начальное распределение п = п(В), т. е.
распределение вероятностей, определяемое равенством п(В) - Р {Х0 е В).
Набор объектов ^я, Р), где я -начальное распределение, а Я -переходная
функция, полностью определяет вероятностные свойства последовательности
X, поскольку все конечномерные
§ I ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА 531
распределения выражаются (задача 2) через л и Я: для любого
и Ле^Э(/?л+1)
Р{(Х0, ..., Хл)еЛ} =
= $ л (dx0) ^ Я (х0; dxi) .. .$ 1А (х0, .. •, хя) Р (xn-i, dxn). (5)
R R R
Отсюда стандартным предельным переходом выводится, что для любой Si
(Яп+1)-измеримой функции (одного знака или ограниченной) g (х0, Хп)
Щ(Х0, .... Хя) =
= $ я (dxa) 5 Р (хй; dxx) ...\g (х0, ..., хп)Р (хп-й dxn). (6)
R R R
3. Обозначим через Я1л> = Я(п) (х; В) - регулярный вариант
переходной вероятности за п шагов:
Р(ХлеЯ|Х0) = Ял(Х0; В) (Р-п. н.). " (7)
Из марковского свойства непосредственно выводится, что для любых k, /5=1
(Р-п. н.)
РМ (х0; В) = J Я<*> (Х0; dy) PW (у; В). (8)
R
Отсюда не следует, конечно, что тогда для всех х е R
PM (X) В) = $ Я<" (*; dy) Я"> (у; В). (9)
R
Оказывается, однако, что регулярные варианты переходных вероятностей
можно выбрать так (см. по этому поводу соответствующее место в историко-
библиографической справке), что свойство (9) будет выполнено для всех
ге!?.
Уравнение (9) носит название уравнения Колмогорова -Чэпмена (ср. с
(1.12.13)) и служит отправным моментом при исследовании вероятностных
свойств марковских цепей.
4. Как следует из вышеизложенного, каждой марковской цепи X = (Хп, оК"),
заданной на (Я, aF, Р), сопоставляется набор (я, Р). Естественно
поставить вопрос о том, каким условиям должен удовлетворять набор (я, Я),
где я = я(Я) есть распределение вероятностей на (Я, Si(R)), а Р - Р(х; В)
- функция, являющаяся измеримой по х при фиксированном В и вероятностной
мерой по В при каждом х, чтобы я было начальным распределением, а Я -
переходной функцией некоторой марковской цепи. Как сейчас будет показано,
для этого никаких дополнительных условий налагать не требуется.
В самом деле, возьмем в качестве (Q, eF) измеримое пространство (Я00, Si
(Я00)) и определим на множествах Ле"(r) (Ял+1)
532 ГЛ. VIII. МАРКОВСКИЕ ЦЕПИ
вероятностную меру с помощью выражения, стоящего в правой части формулы
(5). Как следует из § 9 гл. II, на (#°°, Si (#")) существует
вероятностная мера Р такая, что
Р {со: (х0, х") se А}и=
= $ я (dxо) \ Р (х0; йхг)... $ 1А (х0, .... хп)Р (х"dxn).
(10)
R R R
Покажем, что если для со = (л:0, хи ...) положить Хп (а) =хп, то
последовательность X = (Хп)п-^о будет образовывать (по отношению к
построенной мере Р) марковскую цепь.
Действительно, если Ве(r)8(Л), СеЛ^1), то
Р {Хп+1 е= В, (Х0 Хп) еС) = $я (dxо) $ Р (х0; dxi) ...
R R
¦ ¦ ¦ $ IВ (Xn+l) Ic (x0, • • •, Xn)P (Xn, dx
л+l) -
R
= $ я (dxo) 5 P (x0-, dxi) .. .$ P (xn; В) /c (*0, ..., xn) P
(xn^\ dxn) =
R R R
5 P(Xn- B)dP,
(":(*o....x")^}
откуда (Р-п. h.)
P{X"+1e=B|X0> ..., Х,} = Р(ХЛ; В). (11)
Аналогичным образом проверяется, что (Р-п. н.)
Р {Xn+i е В | Х"} = Р (Хп; В). (12)
Из (11) и (12) вытекает требуемое равенство (1). Точно так же
доказывается, что (Р-п. н.) для любого fe^sl и О
Р {Xn+k е В | Х0, ..., Хп} = Р {Хп+к е В | Хп}.
Отсюда следует однородность марковской цепи.
Построенная марковская цепь Х = (Х") называется марковской цепью,
порожденной парой (я, Р). При этом, чтобы подчеркнуть, что построенная на
(R00, Si (#°°)) мера Р отвечает именно начальному распределению я, ее
часто обозначают через Р".
Если мера я сосредоточена в одной точке {х}, то вместо Ря пишут Рх и
соответствующую марковскую цепь называют цепью, выходящей из точки х
(поскольку P*{X0 = x} = 1).
Таким образом, с каждой переходной функцией Р = Р(х; В) связывается на
самом деле целое семейство вероятностных мер {Р*, а, значит, и
