Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
иррационально и, значит, для всех пф 1 е2п'п1ф1. Поэтому сп - 0, пф 1,
?(со) = с0 .(Р-п. н.) и по теореме 1 преобразование Т эргодично.
С другой стороны, пусть X рационально, т. е., X - k/m, где k и т - целые.
Рассмотрим множество Л = {со: Osgco<;l/m,
2^ __ 2 2 tn - 1
2/m -sS (j) < 3/m, ... -sg to < --->• Ясно, что это множество
является инвариантным, но Р(Л)=1/2. Следовательно, Т не эргодично.
2; Определение 4. Сохраняющее меру преобразование Т называется
перемешиванием (обладающим свойством перемешивания), если для любых Л,
йе/
lim Р (Л П Т~пВ) = Р (Л) Р (В). (1)
П-*0О
Следующая теорема устанавливает связь между эргодичностью и
перемешиванием.
Теорема 2. Всякое преобразование Т, обладающее свойством перемешивания,
является эргодическим.
Доказательство. Пусть Л е/, Тогда В = Т~пВ,
"Ssl, и, значит, Р (Л П Т~пВ) - Р (Л П В) для всехц^г!. В силу
396
ГЛ V. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
(1) Р (Л П В) = Р (Л) Р (В). Поэтому при А = В находим, что Р (В) = Р2
(В) и, следовательно, Р(В) = 0или 1. Теорема доказана.
3. Задачи.
1. Показать, что случайная величина ? является инвариантной тогда и
только тогда, когда она о^-измерима.
2. Показать, что множество А является почти инвариантным тогда и только
тогда, когда или Р (Т_1Л\Л) = 0 или Р (Л\Т_1Л) =
= 0.
3. Показать, что преобразование, рассмотренное в примере п. 1, не
обладает свойством перемешивания.
4. Показать, что преобразование Т есть перемешивание в том и только том
случае, когда для любых двух случайных величин I и Т] с М?2< оо, Мт]2< оо
(Тпы) т) (со) Mg (со) Мр (со), п-+оо.
§ 3. Эргодические теоремы
1. Теорема 1 (Биркгоф и Хинчин). Пусть Т - сохраняющее меру
преобразование и | = ? (со) - случайная величина с М|||<оо. Тогда (Р-п,
н.)
Приводимое ниже доказательство существенно опирается на следующее
предложение, простое доказательство которого было найдено_А. Гарсиа
(1965).
Лемма (максимальная эргодическая теорема). Пусть Г - сохраняющее меру
преобразование, g - случайная величина с М | ? | < < оо и
Доказательство. Если n^k, то М" (Тш) ^Sk (Т(о) и, значит, I (со) + М"
(Ты) 5э= ? (со) + Sk (Ты) = S*+1 (со). Так как.
П -
Л)
Если к тому же Т эргодично, то (Р-п. н.)
П - 1
Пт [ 2 КТ"со) = М?.
(2)
(со) = % (со) + % (Ты) + ... + ? (Г*-1 со) Mk (со) = max {О, (со), ...,
S* (со)}.
Тогда для любого п
М [? (со) I|лсл > 0} (со)] 3= 0.
§ 3. ЭРГОДИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ AJ'
очевидно, ЧТО ? (со) 5= Si (со) - М" (Гсо), то
I (ш) 52 max {Sj ((0), ... , S" (ш)} - Мп (Тш).
Поэтому
М (со) /|,чл >0} (w)]'52 М (шах (S, (со), ... , S"(a>)) - М"(Т(л)).
Но на множестве {М">0} rnax(S1, ..., Sn) = Mn. Следовательно, М [Е (w)
I{мп >°} ((0)] М |(М" (со) - Мп (Та)) /{мл <оо > oj}
ЬЛ{Мп(а)-Мп(Та)} = 0,
так как, если Т - сохраняющее меру преобразование, то ММ, (со) - =
ММл(Тсо) (задача 1 из § 1).
Лемма доказана.
Доказательство теоремы. Будем предполагать М (I [ е7) = 0 (в
противном случае от | надо перейти к ? - М (% | е?)).
С g
Пусть Ti = lim--1 и Ti = lim-. Для доказательства достаточно J а
- п
установить, что (Р-п. н.)
0 ==5 т] т) sg; 0.
Рассмотрим случайную величину fj = f) (от). Поскольку г) (со) = f) (Тсо),
то т] инвариантна и, следовательно, для каждого е > 0 множество /1(. = {Й
(со) > е} также является инвариантным. Введем новую случайную величину
|* (со) = (1 (со) - е) /Ле(со),
и пусть
S? (со)((D)+ •¦• + ?* (Г*-1(c)), Mt (со) = шах (0, S?,..., Si). Тогда,
согласно лемме для любого п^1,
М |^*7{л1*>°}]=э0.
Но при п->со
{MJ > 0} = I шах St >01 f ( sup St > 01 = {sup -S^> o} =
\ к * < л J ss l ) 4321я >
= j sup ~ > ej fl Ae = Ae,
о
где последнее равенство следует из того, что sup 5-Й, а А..
1 я
= {со: г) > е}.
Далее, М | | М | ? | + е. Поэтому по
теореме о мажорируе-
мой сходимости
398 ГЛ. V. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Итак,
о < м [1*1 ле] - М [(g - е) /Ле] = м [?/ле] - еР (Ле) =
= М [М (g | "7) 1Аг] - еР (Ле) = - еР (Ае),
откуда Р(Ле) = 0 и, значит, Р(т(==с0) = 1.
Аналогично, рассматривая вместо ?(со) величины - ? (со), найдем, что
и Р(-т]С0)=1, т. е. Р(т1^0)=1. Тем самым 0 sc; т] =sS т] "с; О (Р-п. н.),
что и доказывает первое утверждение теоремы.
Для доказательства второго утверждения достаточно заметить, что поскольку
М (| | <&) - инвариантная случайная величина, то в эргодическом случае
М(?|"Д) = М? (Р-п. н.).
Теорема доказана.
Следствие. Сохраняющее меру преобразование Т эргодично в том и только том
случае, когда для любых А, В eaf
Для доказательства эргодичности Т положим в (3) Л=Ве#. Тогда А(\Т~кВ = В
и, значит, Р(В) = Р2(В), т. е. Р (В) - 0 или 1. Обратно, пусть Т
эргодично. Тогда, применяя (2) к случайной величине ? = /в(со), где
найдем, что (Р-п. н.)
откуда, интегрируя обе части по множеству Л е / и используя теорему о
мажорируемой сходимости, получаем требуемое соотношение (3).
2. Покажем теперь, что в условиях теоремы 1 в (1) и (2) имеет место не
только сходимость почти наверное, но и в среднем. (Этот результат будет
