Вероятность - Ширяев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
'доказана.
4. Приведем теперь (без доказательства) теорему об общем виде
характеристической функции устойчивых распределений.
Теорема 4 (представление Леви - Хинчина). Случайная
величина Т является устойчивой тогда и только тогда, когда ее
характеристическая функция ф (t) имеет вид ф (t) = ехр ф (t),
W) = rtP-d|f,"(l+*0-^G(*f_a)), (9)
где 0<ос<2, Pei?, 0, |0|^1, -^- = 0 при t - 0 и
I ' I
Itg y a, если а Ф 1,
2 0°)
- log | i I, если a = 1.
Отметим, что особо просто устроены характеристические функции
симметричных устойчивых распределений:
Ф (t) - е~^ 11 ia> (11)
где 0<asg2, d^0.
5. Задачи.
1. Показать, что если и то | = т).
2. Показать, что если фх и ф2 -две безгранично делимые характеристические
функции, то ф^ф^ - также безгранично делимая характеристическая функция.
§ 5. БЕЗГРАНИЧНО ДЕЛИМЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
365
3. Пусть ср" - безгранично делимые характеристические функции и (/) -*¦ ф
(/) для каждого t е R, где ф (/) - некоторая характеристическая функция.
Показать, что ф (/) безгранично делима.
4. Показать, что характеристическая функция безгранично
делимого распределения не обращается в нуль.
5. Привести пример случайной величины, являющейся безгранично делимой, но
не устойчивой.
6. Показать, что для устойчивой случайной величины ?
М 11'{ < оо для всех г е (0, а).
7. Показать, что если ? - устойчивая случайная величина
с параметром 0<a=s?l, то ф(t) не дифференцируема при t = 0.
8. Дать доказательство того, что функция с d^O, 0<
<а<;2, является характеристической.
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И СУММЫ НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
§ 1. Законы "нуля или единицы"
СО СО
1. Ряд ^ - расходится, а ряд ^ (-1)"ур сходится. Поста-
п - 1 п - 1
вим следующий вопрос. Что можно сказать о сходимости или рас-
СО
ходимости ряда ^ где ^ Ё2, ... - последовательность неза-
П~ 1
висимых одинаково распределенных бериуллиевских случайных величин с Р = +
1) = Р = ¦-1) = 1/2? Иначе говоря, что можно сказать о сходимости ряда с
общим членом ± 1/л, где знаки + и - "разбросаны" в случайном порядке в
соответствии с рассматриваемой последовательностью |1( |2, ... ?
Обозначим
СО
множество тех элементарных исходов, где ряд ^ сходится
П - 1
(к конечным значениям) и рассмотрим вероятность Р (Аг) этого множества.
Заранее не ясно, какие значения может принимать эта вероятность.
Замечательным оказывается, однако, то обстоятельство, что a priori можно
утверждать, что эта вероятность может принимать только два значения 0 или
1. Этот результат является следствием так называемого закона "нуля или
единицы" ("О или 1") Колмогорова, формулировка и доказательство которого
составляют основное содержание данного параграфа.
2. Пусть (П, sF, Р) - вероятностное пространство, ?2, ...- некоторая
последовательность случайных величин. Обозначим
§ I. ЗАКОНЫ "НУЛЯ ИЛИ ЕДИНИЦЫ"
367
еГ" = а(!", |л+1, ...) - а-алгебру, порожденную случайными величинами ?",
in+1, и пусть
ОО
.27 = П "Г*.
Л=1
Поскольку пересечение а-алгебр есть снова а-алгебра, то .27 - есть а-
алгебра. Эта а-алгебра будет называться "хвостовой" или "остаточной", в
связи с тем, что всякое событие не зави-
сит от значений случайных величин llt ..., \п при любом конечном числе п,
а определяется лишь "поведением бесконечно далеких значений
последовательности \2, ..
Поскольку для любого k 1
Ах = ~ сходится j = j ^ - сходится| е aF",
то Лх е Q = .27. Точно так же, если |2, ... -произволь-
k
ная последовательность, то
Л2 = In сходится| е .27,
Следующие события также являются "хвостовыми"!
А3 = Цп е 1п для бесконечно многих я}, где /" е 33 (R), я^= 1;
Л4 = jlim < coj;
Л5 = jlim <cojj
Ae = jlim < cj,
A7 = j^- сходится};
Л8 = Jlim -.= l\.
\ n V2n\ogn )
С другой стороны,
= ° для всех nSsl},
В2 = jlim +... + |л) существует и меньше
являются примерами событий, не принадлежащих .27,
Будем теперь предполагать, что рассматриваемые случайные величины
являются независимыми, При этом допущении из леммы
368
ГЛ. IV. независимые случайные величины
Бореля - Кантелли следует, что
Р (А3) = 0 <=> V Р (1п <= /") < оо,
Р (Л3) = 1 <=> S Р (In е 1п) = со.
Таким образом, вероятность события А3 может принимать лишь два значения 0
или 1 в зависимости от сходимости или расходимости ряда ? Р (1" е /").
Это утверждение носит название закона "О или 1" Бореля.
Теорема 1 (закон "О или 1" Колмогорова). Пусть ?2, ... -
последовательность независимых случайных величин и /1 е Тогда вероятность
Р (А) может принимать лишь два значения-, нуль или единица.
Доказательство. Идея доказательства состоит в том, чтобы показать, что
каждое "хвостовое" событие А не зависит от самого
себя и, значит, Р (A f| А) == Р (А) ¦ Р (Л), т. е. Р(Л) = Р2(Л),
от-
куда Р(Л) = 0 или 1.
Если Ле J, то Ле aFf - а {(+ ?2, ...} = a/JJ aF"1), где =
\ п
= а{^, ..., ?"}, и можно найти (задача 8 из § 3 гл. II) такие множества
Ап е aF", пф\, что Р (Л ДЛл)->-0, п->- оо. Отсюда следует, что
Р(Л")-Р(Л), Р(Л"ПЛ)^Р(Л). (1)
Но если Ае= ЗТ, то для каждого п ^ 1 события Л" и Л независимы:
