Единицы физических величин и их размерности - Сена Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Если для определения единицы силы использовать не второй закон Ньютона, а закон всемирного тяготения, то при этом мы сделаем гравитационную постоянную безразмерной, т. е. не зависящей от основных единиц, а равной какому-нибудь постоянному числу, например единице. При таком определении размерность силы станет равной
If] = L-2M2, (2.31)
и инерционная постоянная, которая ранее принималась равной единице и лишенной размерности, приобретет размерность
[Ki] = L-3Mr. (2.32)
J 2.3] различные определяющие соотношения И
Изменение размерности силы и появление размерной инерционной постоянной при одновременном исчезновении размерной гравитационной постоянной приведет, разумеется, к иному математическому выражению законов и определений в области механики и к изменению формул размерности. Так, например, размерность работы, определяемой, как и раньше, произведением силы на путь и на косинус угла между их направлениями, будет уже не
[A] = L2MT"2,
а
[А] = [F] [L] = L~2M* • L = L-1M2. (2.33)
Эту же размерность работы можно получить и иным путем. Если последовательно в новой системе вывести связь между работой и изменением живой силы *), то эта связь примет вид
(mvl /да? \
Подставляя в правую часть размерности массы, скорости и инерционной постоянной, получим
[А] = L-3MT- • M ¦ (LT~y = L-1M2. (2.35)
Таким образом, в тех случаях, когда разные системы отличаются друг от друга выбором определяющих соотношений, необходимо учитывать, что коэффициенты пропорциональности, которые в одной системе считаются безразмерными (и обычно равными единице), в другой системе приобретают размерность. При переходе от одной системы к другой следует для определения размерности заменить безразмерный коэффициент размерным или наоборот.
Если сократить число основных единиц, как это, например, можно сделать, объединяя второй закон Ньютона и закон всемирного тяготения в общий закон, аналогичный третьему закону Кеплера, то в этом случае
*) Мы применяем здесь сознательно для выражения mv2/2 термин «живая сила», а не кинетическая энергия, поскольку выражение для последней должно быть Ki тюЩ.
52
перевод единиц и формулы размерности [гл. 2
становятся равными единице, а следовательно, безразмерными и гравитационная и инерционная постоянные, а в формулах размерности сохраняются лишь размерности длины и времени. Перевод размерности от систем с тремя к системе с двумя основными единицами может быть при этом произведен, если в соответствующих формулах размерности заменить размерность массы ее выражением, полученным из формулы, объединяющей второй закон Ньютона и закон всемирного тяготения. Записав эту формулу в виде
a = (2.36)
и считая К безразмерным (например, равным единице), получим для единицы массы формулу размерности
[M] = L3T'2. (2.37)
Если это выражение подставить в любую из формул размерности силы, выведенную как из второго закона, так и из закона всемирного тяготения, получатся, разумеется, одинаковые размерности. Действительно,
[F] = LMT'2 = L4T~\ (2.38)
[F] = L-2A/2 = ГТЛ (2.38а)
То же относится и к размерности единиц остальных величин, относящихся к механике. Приведем для иллюстрации некоторые из них. Размерность работы и энергии
[A] = L5r\
Размерность импульса силы и количества движения [ft] = [mv] = L4T'3.
§ 2.4. Определение связи между единицами разных систем
Перевод единиц из одной системы в другую осуществляется наиболее просто в том случае, когда обе системы построены на одних и тех же определяющих соотношениях и на- одних н тех же основных величинах,
§ 2.4] связь между единицами разных систем 53
*) Имеются в виду единицы старой русской системы мер.
так что основные единицы отличаются только размером. Из сказанного выше вытекает, что так как в этом случае формула размерности производной единицы в обоих случаях одна и та же, то достаточно в эту формулу подставить отношения размеров основных единиц, которые должны быть заданы либо определением, либо опытным путем, например сравнением эталонов соответствующих единиц. В дополнение к приведенным выше примерам установим соотношение двух единиц силы, определенных на основании второго закона Ньютона при следующих основных единицах: сантиметр, грамм, секунда и фут, фунт*), минута. Соотношения основных единиц следующие: 1 фут = 30,48 см (сравнение эталонов), 1 фунт — 409,5 грамма (сравнение эталонов), 1 минута = 60 секунд (определение). На основе формулы размерности
[F] = LMT'2
определяем соотношение единиц силы
единица системы фут, фунт, минута _ 30,48 • 409,5 _ g единица системы сантиметр, грамм, секунда (6O)2 '
Сложнее обстоит дело в том случае, когда при одних и тех же определяющих соотношениях в качестве основных приняты единицы разных величин, как это, например, имеет место в системах СИ и МКГСС.
Поскольку по крайней мере одна из величин, которая в одной системе принята за основную, является производной в другой системе и наоборот, следует установить связь между соответствующими единицами. Очевидно, эта связь может быть установлена только с помощью эксперимента. В случае определения соотношений между единицами систем СИ и МКГСС, в качестве такого эксперимента может быть принято свободное падение тел. При этом мы используем тот факт, что единица силы в системе МКГСС есть вес (т. е. сила притяжения к земле), а в системе СИ — масса одного и того же тела — эталонной гири — килограмма. Как известно, при
