Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
проективном модуле Р над *-алгеброй А, рассмотрим морфизм
Р -^Р(r)П'Д J22I*p(r)nj,A
Это правая некоммутативная связность V0 на модуле Р относительно
дифференциального исчисления Кона. Любая другая правая некоммутативная
связность V на Р относительно дифференциального исчисления Кона имеет вид
V = V0 + а = (Id (r) тг) о р о 6 + о, (7.39)
где а - морфизм Л-модулей
<т: Р -+ Р(r) QpA.
Компоненты а некоммутативной связности V (7.39) называются
некоммутативными калибровочными полями.
Приложение А
К-теория
Характеристические классы, представленные в первом томе [II], §3.5,
позволяют описать классы эквивалентности вещественных или комплексных
векторных расслоений данной размерности как расслоений с соответствующей
структурной группой. Рассмотрим теперь множество С(Х) классов
эквивалентности всех векторных расслоений над гладким многообразием X.
Это коммутативный моноид относительно суммы Уитни ф, где 0-мерное
векторное расслоение играет роль нулевого элемента. Чтобы превратить его
в группу, необходимо определить операцию (c).
Напомним следующую алгебраическую конструкцию. Пусть задан коммутативный
моноид А. Рассмотрим фактор К(А) прямого произведения А х А по отношению
эквивалентности: (а, Ь) и (а1, &'), если существует элемент р € А такой,
что
а + b' + р = Ь + а + р.
Он наделен структурой группы, называемой группой Гротендика моноида А.
Существует гомоморфизм
к: А -> К(А)
такой, что к(а), а ? А, совпадает с классом эквивалентности пары
(а,0)?ЛхЛ. Обратный элемент -к(а) к элементу к(а) в группе Гротендика -
это класс эквивалентности пары (0, а). Тогда любой элемент (а,Ь) группы
К(А) может быть представлен как разность к(а) - к(Ь), а,Ь ? А. Нетрудно
установить, что к(а) = к(Ь) тогда и только тогда, когда существует
элемент р € А такой, что а + р = b + р.
Построим теперь группу Гротендика К(Х) моноида С(Х) классов
эквивалентности векторных расслоений над гладким компактным многообразием
X [6, 14, 23). Обозначим элемент группы Гротендика k(E), Е ? С(Х), просто
\Е\. Тогда [??] = [Е'\ тогда и только тогда, когда существует векторное
расслоение F -> X такое, что
Е(r) F и Е1 (r) F.
Теорем а А. I. Для любого векторного расслоения Е на компактном
многообразии X существует векторное расслоение Е' -* X такое, что сумма
Уитни Е ф Е1 является тривиальным векторным расслоением. ?
Следствие А.2. Равенство \Е\ = \Е'] в группе Гротендика К(Х) имеет место
тогда и только тогда, когда
Е(r)1тъЕ' (r)1т для некоторого тривиального векторного расслоения 1т над X. ?
Отсюда следует, что векторные расслоения Е и Е' принадлежат одному и тому
же классу в фуппе Гротендика К(Х) только если они одинаковой размерности,
хотя могут и не быть изоморфны друг другу. Например,
[Г52] = [/2] = 0 € К(S2),
хотя касательное расслоение TS2 -> S2 к 2-мерной сфере S2 нетривиально.
Этот пример показывает, что морфизм
к: С(Х) -"К(Х)
140
Приложение А. К-теория
не является мономорфизмом. Это мономорфизм на классах эквивалентности
вещественных векторных расслоений размерности т > dim Л' и на классах
эквивалентности комплексных расслоений размерности in > dim.Y/2.
Существует другое отношение эквивалентности {Е} на моноиде С(Х) классов
эквивалентности векторных расслоений над многообразием X. Положим {Е} =
{Е1} тогда и только тогда, когда существуют тривиальные векторные
расслоения 1к и 1Р такие, что
Еф1к " Е'(r)1Р. •
Эти классы эквивалентности образуют группу К(Х), нулевой элемент которой
включает все тривиальные векторные расслоения. Имеет место изоморфизм
K(X) = Z(r)K(X).
Например, если X - точка, тогда К(Х) = Z, а К(Х) = 0.
Ткоркма А.З. Пусть X н X' - компактные многообразия и морфизмы f\\ X ->
X' и /2: X -> X' гомотопны. Тогда /| и /2 порождают одни
и те же изоморфизмы
К(Х) -¦ К(Х') и К(Х) -¦ К(Х'). ?
Пусть КС(Х) - группа Гротендика комплексных векторных расслоений над
компактным многообразием X. Упоминавшейся в §3.7 характер Чженя этих
векторных расслоений определяет отображение
ch: Kc(X)-+(r)H2i(X,(r)) (A.I)
i>0
такое, что
ch ([23| - [??'|) = ch (Е) - ch (Е1). (А.2)
Морфизм (A.I) приводит к изоморфизму
|>0
для комплексных векторных расслоений и к изоморфизму
ВД(r)0 = ФЯ4'(1,0)
">0
для вещественных векторных расслоений.
Приложение Б
Теорема об индексе
Теорема об индексе Атьи-Зингера устанавливает связь между аналитическими
свойствами эллиптических дифференциальных операторов на расслоениях и
топологическими свойствами самих этих расслоений (см., например, [14, 24,
40, 122]).
Пусть (ж1,... хп) - координаты в R". Для всякого набора
t {tj,..., tn) целых неотрицательных чисел положим, как обычно,
д\ц
д\' ... ?>'"'
Пусть А и В - конечномерные комплексные векторные пространства и U -
открытое подмножество в R". Обозначим C°°(U, А) - пространство гладких Л-
значных функций на U. Линейное отображение
V: C°°(U, А) -" C°°(U, В)
является дифференциальным оператором порядка г, если существуют матричные
функции at Е Сос(U, Нот (Л, В)) такие, что
