Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
Hornin', Л) = Der (Л), (1.38)
tt(d'a) = tt(a), a 6 Л,
т.е. модуль дифференцирований Der Л алгебры Л совпадает с левым Л-
дуальным П1* к модулю П1. ?
Определим теперь модули О4, к = 2,3,..., как антисимметричные тензорные
произведения /С-модуля П1.
§ I. Дифференциальное исчисление на модулях
11
Предложение I.I.8. ]4|. Существуют изоморфизмы
Нот А(Пк, Q) = Der *(.4, Q), (I.39)
Нот Q) = Dcr*(Difr,(<?)). (1.40)
a
Изоморфизм (1.39) является обобщением изоморфизма (1.37) на
дифференцирования высшего порядка. Изоморфизм (1.40) и мономорфизм (1.9)
предполагают гомоморфизм
hk: з\пк~') -> гг*
и определяют операторы внешнего дифференцирования
dk - hk oj': Si*-1->Пк. (1.41)
Легко установить, что dk о dk~{ = 0, и эти операторы порождают комлекс Де
Рама
0 П1 - ... ---------------------------------------------(1.42)
Замечание 1.1.6. Пусть .4-модуль Р является /С-кольцом таким, что
существу-
ет мономорфизм /С-колец Л -> Р. Отметим имеющееся различие между модулями
струй Jk(P) Д-модуля Р и модулями струй Jk /С-кольца Р. Например, имеет
место канонический мономорфизм (I.2I) Р в j\ но не в j\P). ?
Обратимся теперь к случаю, когда Л - кольцо СХ(Х) вещественных гладких
функций на дифференцируемом многообразии X.
Замечание 1.1.7. Обычно кольцо Сх(X) наделяется топологией компактной
сходимости по всем производным (см. третий том [13|, Пример 1.I.7). Это
топология пространства Фрсше, и С'х'(Х) является топологическим кольцом,
называемым кольцом Фрешс. ?
Замечание 1.1.8. Дифференцируемое многообразие может быть описано как
вещественный спектр кольца гладких функций на нем. Пусть Z -
дифференцируемое многообразие и рг С C°°(Z) - максимальный идеал гладких
функций на нем, обращающихся в 0 в точке z ? Z. Имеем C*(Z)/p. = К.
Вещественным спектром Spec/j C*'(Z) кольца Cy-(Z) называется множество
всех его максимальных идеалов р таких, что
R <--> C*'(Z) -> Cx(Z)/p
- это изоморфизм (см, например, [25|). Если вещественный спектр
Spec/fCx(Z) наделен топологией Зариского (совпадающей в данном случае с
топологией Гельфанла), тогда отображение
Z 3 z н-* рг ? Specfl C^'iZ)
- гомеоморфизм. Заметим, что спектр и вещественный спектр градуированного
коммутативного кольца (см. Главу 3) тоже может быть наделен топологией
Зариского [30].
Следует подчеркнуть, что, если X и X1 - дифференцируемые многообразия,
естественный морфизм
С*(Х) (r) С"°(Л") -" Сх(* х X'), f(x)(r)f'(x') Ь- f(x)f'(x'), индуцирует
изоморфизм М-алгебр Фреше
Спо(Х)(r)С00(Х')^С00(Х х X1), (1.43)
12
Глава 1. Алгебраические связности
где слева стоит пополнение тензорного произведения модулей
С00(Х)18)С,х'(Х') в так называемой топологии Гротендика (см. ниже). Оно
называется топологическим тензорным произведением. Напомним, что, если Е
и Е' - локально выпуклые топологические векторные пространства,
существует единственная локально выпуклая топология на их тензорном
произведении Е (r) Е' такая, что для любого локально выпуклого
топологического пространства F имеет место взаимно однозначное
соответствие между линейными морфизмами Е(r)Е' -¦ F, непрерывными в этой
топологии, и непрерывными билинейными отображениями Е х Е' -> F. Это
сильнейшая топология, в которой естественное отображение ЕхЕ' в Е(r)Е'
непрерывно (10]. Она называется топологией Гротендика. В частности, если
Е^- топологическая алгебра, операция произведения в Е представима как
морфизм Е(r) Е -> Е. ?
Перейдем теперь к подкатегории так называемых геометрических модулей над
кольцом гладких функций Ссе,(Х) на многообразии X, которые допускают
геометрическую интерпретацию.
Определение 1.1.9. С00(X)-модуль Р называется геометрическим, если
П fhP = о,
xtX
где рх - максимальный идеал гладких функций, обращающихся в 0 в точке х е
X. ?
Коротко можно сказать, что элементы геометрического модуля над кольцом
С(tm)(Х) определяются только своими значениями в точках многообразия X.
Всякий такой Сх(Л')-модуль Р отождествляется со структурным модулем Y(X)
глобальных сечений некоторого гладкого векторного расслоения Y -> X
(необязательно конечномерного). При этом слой Yx этого векторного
расслоения над точкой х G X совпадает с фактор-модулем Р/рхР. В
частности, подкатегория локально свободных С(tm)(X)-модулей конечного ранга
эквивалентна категории гладких конечномерных векторных расслоений над
многообразием X, т. е. всякий такой модуль является модулем глобальных
сечений некоторого конечномерного векторного расслоения над X [101, 153|.
В этом случае устанавливается следующее соответствие.
• Модуль дифференцирований ?ег(Сх,(Л')) кольца C^iX) отождествляется с
С'х'(Л')-модулем Т(Х) векторных полей на дифференцируемом многообразии X.
• Модуль П1 совпадаете модулем П'(Л') 1-форм на многообразии X.
• Оператор dk (1.41) представляет собой обычный внешний дифференциал на
алгебре внешних форм на X.
• Если Y{X) - структурный модуль сечений векторного расслоения Y -> X,
модули струй Jk(Y(X)) отождествляются с модулями JkY(X) сечений
