Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
калибровочных полей А не является свободным. Поэтому обычно берут или
эффективную калибровочную группу Ли Q, действующую на пространстве
неприводимых связностей А, или отмеченную калибровочную группу Ли (7°,
действующую на пространстве калибровочных полей А. Мы остановимся здесь
на первом варианте.
Имеет место композиционное расслоение
А -" А/де = А, - Ае/ж0 (5)= о, (6.29)
где
"0 (6)=6/6e.
Применяя точную последовательность (6.24) к случаю
G = g, н = де, В = С(А) и принимая во внимание, что
C(A)ft =С(Ае), мы получаем точную последовательность аномалий
о-+H'(*o{g);C(Ae))^H'(g-,c(A))^H'(ge-,c(A))Cj-+я2(*"(?);€(а*)), (б.зо)
Элементы группы когомологий Я1 (тго((7); С( Ае)) в этой точной
последовательности
характеризуют глобальные аномалии, тогда как элементы Я1 (ge\С( А ))д
соответствуют локальным аномалиям. Стрелка j в точной последовательности
аномалий (6.30) является мономорфизмом. Если группа когомологий
Я2(яо((7);С(Ае)) тривиальна, стрелка i в (6.30) является эпиморфизмом. В
этом случае группа аномалий Я'((?;С(а)) представляет собой прямое
произведение групп глобальных и локальных аномалий. Если гомотопическое
множество ir0(g) конечно, только циклические элементы в группе аномалий
могут быть глобальными аномалиями.
Чтобы сказать больше, заметим, что группу когомологий Я'((?;С(а)) можно
представить как группу клас?ов ^-изоморфных тривиальных комплексных
линейных расслоений L(А) над А, называемых линейными расслоениями
детерминантов кирального оператора Дирака (6.28). Эта геометрическая
интерпретация группы когомологий Я'((7;С(а)) в применении к расслоению А
-* О приводит к точной последовательности групп когомологий [48]
О -> Я'((7;С(А)) -> Я2(О;Z) -> Я2(А; Z). (6.31)
122
Глава 6. Аномалии
Вторая стрелка в эгой точной последовательности является мономорфизмом
группы когомологий Я'((/;С(а)) в группу классов эквивалентности
комплексных линейных расслоений нал пространством орбит О путем
отождествления элементов (А, с) и (Ая,с + iWl(A,g)) для всех д € Q.
Последняя стрелка в точной последовательности (6.31) сопоставляет каждому
комплексному линейному расслоению над О индуцированное им расслоение над
А. Поскольку А - аффинное пространство, когомологии А тривиальны и мы
получаем равенство
Я'(?С(А)) ~H2(0;Z).
Аналогично точной последовательности (6.31) можно построить точные
последовательности когомологических групп, отвечающие расслоениям А -* Ае
и А, -* О в композиционном расслоении (6.29). Они имеют вид
О ---->Я|(б*;С(А)) *ff2(Ae;Z) ---------^(A;^), (6.32)
О --я'(7Г0(С7);С(АС)) ------>Н2(0\1)---------->Я2(AC;Z). (6.33)
Можно также использовать точную последовательность когомологий низких
размерностей расслоения А -> А,.. Так как группа по определению связна,
спектральная последовательность Лере (3| дает точную последовательность
групп когомологий
О >Н'(\С-Л)------->Я'( A;Z) >н'(де-Л) >Нг( A,;Z)---------->Н2( A;Z).
(6.34)
Поскольку Я2(A;Z) = 0, точные последовательности (6.32) и (6.34) приводят
к равен-стпам групп когомологий
Я'(&;С(А)) =Я|((7е:2) = Я2(Ая;2).
В частности, линейное расслоение детерминантов тривиально и локальные
аномалии отсутствуют, если соответствующее комплексное линейное
расслоение над Ае. характеризуется пулевым классом Чженя. Этот класс
Чженя вычисляется в соответствии с известной теоремой об индексе (см.
Приложение Б). Мы сошлемся еще на работу |48|, в которой дан детальный
анализ случая G = SU(2).
§3. БРСТ-аномалии
В §6.1 мы рассматривали аномалии, вызванные калибровочной неинвариант-
ностью формы Чженя-Саймонса. Этот параграф посвящен аномалиям, связанным
с БРСТ-неинвариантностью этой формы (см., например, |36|). Мы следуем
геометрической интерпретации духов Фаддеева-Попова как локальных (0, 1)-
форм связности с, отвечающих связности А на главном расслоении (5.19) над
X х А.
Пусть Р -* X - главное SU(N)-расслоение над ориентируемым компактным ри-
мановым многообразием X и А - пространство неприводимых связностей на Р -
*¦ X. Рассмотрим главное SU(N)-расслоение (5.19) над X х А и связность А
= А + с (5.23) на этом главном расслоении, где А(х) - локальная (1,0)-
форма связности и с - локальная (0, 1)-форма связности в точке (х, А)
(см. §5.2). Предположим, что компоненты Р|,( и Ро,2 напряженности F
(5.25) этой связности обращаются в 0, т. е.
F = (d + 6)(A + c)+(A + c)2 =Fa. (6.35)
Тогда мы имеем соотношения (5.34):
6 А = ~dAc, 6с = -с2.
(6.36)
§3. БРСТ-аномалии
123
Как уже отмечалось, эти соотношения могут интерпретироваться как
геометрическая модель БРСТ-преобразований калибровочной теории, когда
оператор 6 играет роль БРСТ-оператора s (4.81), ассоциированного с
духовым полем с, а внешний дифференциал d (5.24) отождествляется с полным
БРСТ-оператором 1 (4.83). БРСТ-оператор б действует на внешние формы ф на
X х А, (0, 1)-степень которых соответствует духовому числу. Однако
внешнее произведение этих форм, в отличие от внешнего произведения
(4.82), подчиняется условию
