Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
вместе с функциями перехода
Qxt'
У'и=^У1 (4.4)
Координаты (4.3) превращают множество г-струй JTY в гладкое многообразие
конечной размерности
Координаты (4.3) согласуются с естественными сюръекциями
ж J:JrY->JlY, г>1, которые образуют цепочку композиционных расслоений
_г _"¦-] I
т-И
жг: JrY Jr-]Y
жнож1=жТ.
Вид функций перехода (4.4), когда |Л| = г, показывает, что расслоение
JrY -> Jr~]Y
является аффинным расслоением, моделируемым над векторным расслоением
\/Т*Х (r) VY-*Jr~'Y. (4.5)
J'-'Y
§ 1. Связность на струях бесконечного порядка
77
Замечание 4.1.1. Чтобы внести многообразия струй высшего порядка, можно
использовать конструкцию повторного многообразия струй. Рассмотрим
многообразие г-струй JrJkY расслоения А;-струй JkY -<• X. Оно наделено
координатами
(аЛз&л), |ЛЮ, |Е| ^ г.
Существует канонический мономорфизм расслоений
a,.k: JT+kY <-+ JTJkY, задаваемый координатными соотношениями
Уха ° °тк = 2/L+a-
?
В исчислении струй высшего порядка определен функтор струйного
продолжения порядка г. Если даны расслоения Y -* X и Y' -> X над одной и
той же базой X, всякий послойный морфизм
Ф: Y -> Y1 S
над диффеоморфизмом / многообразия X допускает струйное продолжение
порядка г до морфизма многообразий г-струй
ГФ: /7Э^и;;(1)(Фо8о/-') G JTY! (4.6)
Функтор струйного продолжения является точным. Если послойный морфизм Ф -
инъекция (соответственно сюръекция), то его струйное продолжение JTФ тоже
является инъекцией (соответственно сюръекцией). Функтор струйного
продолжения также сохраняет алгебраическую структуру. В частности, если Y
-> X - векторное расслоение, таковым же является и расслоение г-струй JTY
-> X. Если Y -* X - аффинное расслоение, моделируемое над векторным
расслоением Y -> X, тогда JrY -> X - аффинное расслоение, моделируемое
над векторным расслоением JrY -> X.
Всякое сечение s расслоения Y -> X допускает г-струйное продолжение до
сечения
(.Jrs)(x) = j's,
расслоения струй JrY -> X. Оно называется голономным сечением.
Всякая внешняя форма ф на многообразиий струй JkY задает индуцированную
форму на многообразии струй Jk+tY. Обозначим для краткости
n; = Q*(JkY)
внешнюю алгебру внешних форм на многообразии струй JkY. Имеет место
прямая система М-алгебр
П*(Х) - П*(У) - ... - п; -----------------(4.7)
Иногда удобно обозначить
П*_,=П*(Х), По = П*(У).
Подсистемой системы (4.7) является система
С°°(Х) -С00^) - П? -... - ----------------------->... (4.8)
Е-колец вещественных гладких функций П°к - C°°(JkY) на многообразиях
струй JkY. Поэтому можно рассматривать (4.7) и (4.8) как прямые системы
С°°(Х)-модулей.
78
Глава 4. Связности в БРСТ-формализме
Для многообразия -струй JkY расслоения Y -* X определен канонический!
послойный морфизм
r(ky. JkTY -* TJkY
над морфизмом
JkY X JkTX -> JkY X ТХ,
X X
имеющий координатный вид
(х\у\,х\у\) orlk) = (x\y^,x\(y')x-^2(y)fny(xk)B), 0^ |Л| ^ к,
где сумма взята по всем разбиениям Е + Е = Л, 0 < |Е|, мультииндекса Л. В
частности, имеет место канонический изоморфизм
r{,y. JkVY - VJkY, (у')\ = у\ о г[к) (4.9)
над JkY. Как следствие, любое проектируемое векторное поле
и = v!13^ + и1 д{ на расслоении Y -> X допускает к-струйное продолжение
Jku = г{к) о Jku: JkY -> TJkY, (4.10)
Jku - ихдх + udi + и\дх, 0 < |Л| ^ к,
"А+л = dxu'A - у^Адхи^, 0 < |Л| < к,
до векторного поля на многообразии fc-струй JkY (сравните с формулой
(1.52) в первом томе [11| для к = 1). Например, fc-струйное
продолжение (4.10) вертикального
векторного поля на расслоении Y -*¦ X является вертикальным векторным
полем на расслоении струй JkY -> X благодаря изоморфизму (4.9).
Векторное иоле и,. на многообразии г-струй J' Y называется проектируемым,
если для любого 0 ^ к < г существует проектируемое векторное поле ик на
многообразии fc-струй JkY такое, что
Щ°*к = TiтТкоиТ.
Проектируемое векторное поле на мьюгообразии струй J'Y дается
координатным выражением
и,. = ихдх + и\дх, 0 ^ |Л| ^ г,
где коэффициенты их зависят только от координат хя на базе X, а
коэффициенты и'А не зависят от координат г/| с мульти индексам и Е
такими, что |Е| > |Л[.
Обозначим Vr векторное пространство проектируемых векторных полей на
многообразии г-струй J' Y. Нетрудно установить, что Vr представляет собой
вещественную алгебру Ди и что морфизмы Tiгк, к < г, составляют обратную
систему
f) I 'I'1ГГ ^^! 3 Г -. I / Я-, I m
ри < р1 4 L # 4 # t * 2 р? 1 <- ' 1 рг ^^ (411)
алгебр Ли.
Предложение 4.1.1. [35, 145|. Струйное продолжение векторных полей (4.10)
представляет собой мономорфизм алгебры Ли Р° проектируемых векторных
полей на расслоении Y -> X в алгебру Ли Vk проектируемых векторных полей
на многообразии струй JkY такой, что
Tirrk(jru) = Лох;. (4.12)
§ I. Связность на струях бесконечного порядка
79
Струйное продолжение Jku (4.10) называется интегрируемым векторным полем
на JkY. Всякое проектируемое векторное поле ик на JkY раскладывается в
сумму
щ = Jk (Т4(щ)) +Vk (4.13)
интегрируемого векторного поля Jk(T,xk(uk)) и проектируемого векторного
