Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
супер-многообразием. Более того, в случае конечной алгебры Грассмана А
категория Д00-супермногообразий и категория G-супермногообразий
эквивалентны. ?
Пусть (M,GM) - G-супермногообразие. Как было отмечено, оно удовлетворяет
Аксиомам 1-4. Сечения и пучка DerGM градуированных дифференцирований
структурного пучка G-супермногообразия называются супервекторными полями
на G-супермногообразии (M,GM), а сечения ф дуального пучка Der'G^ -
1 -суперформами на (M,Gm). На координатной карте ((f) - (x\yJ) на U С М
супер-векторные поля и 1-суперформы записываются в виде
и = и' di, ф = ф^d(f,
где коэффициенты и1 и 0, являются G-суперфункциями на U. Дифференциальное
исчисление на супервекторных полях и суперформах характеризуется теми же
формулами (3.22), (3.38)-(3.45), что и в случае градуированных векторных
полей и градуированных форм.
Остановимся на когомологиях G-супермногообразий. Для данного G-
супермного-образия (M,GM) обозначим Q\M = 0."м (r) А пучки гладких A-
значных внешних форм на его базовом пространстве М. Эти пучки являются
тонкими и образуют тонкую резольвенту
0 - Л-^С^фЛ - ni,(r)A - ...
постоянного пучка Л на М. Рассмотрим соответствующий комплекс Де Рама Л-
значных внешних форм на М:
0 - Л -> С?(М) - Пд(М) - ... .
Согласно Теореме 1.3.8 группы когомологий Яд(М) этого комплекса изоморфны
группам когомологий Нг(М;А) с коэффициентами в постоянном пучке Л на М и,
следовательно, связаны с группами когомологий Де Рама Н*(М) вещественных
внешних форм на гладком многообразии М соотношениями
Н\(М) = Н*(М; Л) = Н*(М) (r) Л. (3.61)
50
Глава 3. Суперсвязности
Таким образом, группы когомологий Л-значных форм не несут какой-либо
информации о структуре G-супермногообразия на М.
к
Рассмотрим теперь когомологии внешних суперформ. Пучки Д Der'Gjw внешних
суперформ образуют последовательность
0 -* Л -* Gm -" Der *Gм (3.62)
Можно показать, что лемма Пуанкаре распространяется на суперформы [45), и
эта последовательность точна. Однако структурный пучок G-
супермногообразия в общем случае не является ацикличным. Поэтому точная
последовательность (3.62) не образует резольвенту постоянного пучка Л на
М (заметим, что используемая нами терминология несколько отлична ог
терминологии в книге [301). Следовательно, группы когомологий H*S(M)
комплекса Дс Рама внешних суперформ не совпадают с описанными выше
группами когомологий Н*(М;А) и не сводятся к обычным группам когомологий
Де Рама Н*(М) гладкого многообразия М. В частности, группы когомологий
Htf(M) не являются топологическими инвариантами, но они инвариантны
относительно G-изоморфизмов G-супермногообразий.
Предложение 3.3.5. Структурный пучок Qnm стандартного G-супермногообразия
д".т) ацикличен, т. е.
Нк>\в'1'т; ?",,") = 0.
?
Доказательство этого утверждения основывается на изоморфизме (3.60) и
некоторых когомологических конструкциях [30, 46).
Супермногообразия Де Витта
Остановимся на особом классе супермногообразий, называемых
супермногообразиями Де Вигта. Их определение предполагает задание на
суперпространстве Вп'т особой топологии, называемой топологией Де Витта,
которая слабее обычно используемой евклидовой топологии. Это слабейшая
топология такая, что body-морфизм
ап'т: Вп,т -"
остается непрерывным. Открытые подмножества в топологии Де Витта имеют
вид V х 7Zn'm, где V - открытые подмножества в Р" . Ясно, что эта
топология не является отделимой.
Определение 3.3.6. Гладкое многообразие (соответственно G-
супермногообразие, Rх -супермногообразие) называется супермногообразием
Де Витта, если оно допускает атлас такой, что локальные морфизмы ф^: U^ -
> Вп'т в Определении 3.3.2 (соответственно Определении 3.3.4, Аксиоме 2)
являются непрерывными в топологии Де Витта, т.е. ф((Щ) С Впт - открытые
подмножества в топологии Де Витта. ?
В частности, базовое G00-супермногообразие для G-супермногообразия Де
Витта тоже является супермногообразием Де Витта, и то же самое можно
сказать про G-расширение (?Я°°-супермногообразия Де Витта.
Пусть (U(, ф() - атлас супермногообразия Де Витта из Определения 3.3.6.
Нетрудно установить, что его функции перехода ф^ о ф~1 сохраняют
расслоение
ап'Тп: вп,т -> К",
слой которого (<т"'т) 1 (z) над z 6 К" наделен наислабейшей топологией,
открытыми множествами в которой являются только пустое множество 0 и сам
слой (<т"'т)-|(.г). Это приводит к следующему утверждению.
§3. Суперрасслоения и суперсвязности
51
Предложении 3.3.7. Всякое многообразие Де Витта представляет собой
локально тривиальное топологическое расслоение
(гм'. М -> Zm (3.63)
нал n-мерным гладким многообразием Zm с типичным слоем 71"-"'. ?
База Zm расслоения (3.63) называется телом супермногообразия Де Витга, а
проекция ом - body-морфизмом супермногообразия Де Ви гта.
Как уже упоминалось, имеет место важное соответствие между Я' -
супермногообразиями Де Витта и изучавшимися в предыдущем параграфе
градуированными многообразиями. Эго соответствие базируется на следующих
