Геометрия и квантовые поля. Современные методы теории поля. Том 4 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
произведения элементов алгебры Грассмана. Непосредственно из определения
следует, что алгебра Грассмана Л допускает разложение
Л = R(r) 72 = М(r) 72,, (c)72,, (3.3)
где 72 = 72о Ф 72, - идеал нильпотентных элементов Л, т. е. а1 = 0, Va ?
72. Соответствующие проекции а: Л ->1ив: Л ->72 называются body- и soul-
морфизмам и.
Замечание 3.1.1. Отметим, что существует другое определение алгебры
Грассмана [92], которое совпадает с приведенным выше только в случае
бесконечномерного векторного пространства V [50]. Алгебра Грассмана Л
(3.1) векторного пространства V является частным случаем внешней алгебры
A^Q градуированного /С-модуля Q. Это градуированная AC-алгебра,
определяемая как тензорная алгебра <g> Q по модулю соотношений
q(r)q = (- 1 (r) q.
34
Глава 3. Суперсвязности
Если К = К и Qu = О, Q\ = V, мы получаем алгебру Грассмана (3.1).
Заметим, что наиболее приемлемыми для суперанализа считаются алгебры
Аренса-Михаеля типа Грассмана |46| (см. ниже Замечание 3.3.3). ?
Алгебра Грассмана конечного ранга становится банаховой градуированной
алгеброй, если се элементы (3.2) наделены нормой
н"н = ? ? K..J.
*-0 (<,...11.)
Пусть В - градуированное векторное пространство и Л - алгебра Грассмана
ранга N. Градуированное векторное пространство В может быть расширено до
градуированного Л-модуля
А В - (Л2?)о(r)(Л2?)| = (До Ф Bij (r)Л| (r) ) (r) (Л| Ф Ф До (r) В\),
называемого градуированной А-оболочкой В. Нас будет интересовать
градуированная оболочка
Bn|m= (ЛЙФЛП(r) (Л"(r)Ао) (3.4)
(и, т)-мерного градуированного векторного пространства Е" Ф К'". Она
представляет собой свободный градуированный Л-модуль типа (п,т) и
называется суперпространством над алгеброй Грассмана Л.
Супервекторным пространством размерности (п,т) именуется градуированный
До-модуль
rxV.tn ( i Н гч А
В = (Л0 Ф Л, ).
Отметим, что градуированные До-модули В'^т и в,Ит'п{т изоморфны. Если
специально не оговорено (см. ниже топологию Де Витта), иод топологией
супервекторного пространства Вп'г" будет подразумеваться его евклидова
топология как 2N '(п-Гт)-мсрного вещественного векторного пространства.
Пусть Вп\т - суперпространство над алгеброй Грассмана Л. Его эндоморфизм
как градуированного Л-модуля может быть представлен квадратной (п + т) х
(ифга)-мат-рицей
компоненты которой являются элементами алгебры Грассмана Л. Она
называется суперматрицей: Говорят, что суперматрица L является
• четной, если матрицы L\ и L4 имеют четные компоненты, а матрицы L2 и L\
- нечетные компоненты;
• нечетной, если L\ и L4 имеют нечетные компоненты, a L2 и - четные.
Будучи наделенными такой градуировкой, суперматрииы (3.5) .образуют
градуированную Л-алгебру. В дальнейшем под супсрматрицами будут обычно
подразумеваться однородные супсрматрицы, т.е. отвечающие определенной
градуировке.
Вводится понятие суперследа суперматрицы ,(3.5):
StrL = TrZ, - (- 1)|у | ТгД4.
Например, если 1"|т - единичная суперматрица, ее суперслед равен
Str ( 1ц|гн) - 71 771.
Операция супертранспонирования суперматрицы L (3.5) определяется как
суперматрица
§ 2. Связности на градуированных многообразиях
35
где L1 обозначает обычное транспонирование. Справедливы соотношения
Str (L*1) = Str L,
(LL'Y1 = (-1)1''11 '^L'stLsl, (3.6)
Str(LC') - (-|)№'l Str (?'/,) иди Str ([L, L'\) = 0. (3.7)
Чтобы ввести понятие супердетерминанга супермагрицы, рассмотрим обратимые
супсрматрицы. L (3.5), отвечающие четным изоморфизмам супсрпространстна
В"'т. Можно показать, что суперматрица L является обратимой тогда и
только тогда, когда:
• матрицы L| и L4 обратимы;
• матрица <т(?) обратима, где а - это body-морфизм.
Обратимые супермагрицы образуют группу GL(n\m; А), называемую
градуированной общей линейной группой. Супердетерминант супсрматрицы L ?
GL(n[m\ Л) из этой группы определяется в виде
Sdct L - det (L, - L2L^Ly) (det Ц').
Он удовлетворяет соотношениям
Sdet (Lb') = (Sdet /,)(Sdet L'),
Sdet (Lst) = Sdet L,
Sdet (exp {L}) = exp {Sdet (L)}.
§ 2. Связности на градуированных многообразиях
Следует подчеркнуть, что градуированные многообразия, строго говоря, не
являются супермкогообразиями (см. ниже Аксиомы 1-4 из Замечания 3.3.3). В
то же время всякое градуированное многообразие определяет Нх -
супермногообразие Де Вигга и обратно (см. ниже Теорему 3.3.8).
Градуированные главные расслоения и связности на них описываются
аналогично главным суперрасслоениям (см. §3.5). Этот параграф посвящен
связностям, которые могут быть введены на градуированных многообразиях
благодаря тому факту, что градуированные функции, в отличие от
суперфункций, могут быть представлены сечениями некоторого
дифференцируемого расслоения (см. общую теорию градуированных
многообразий в [I, 30, 100, 143J).
ОиркдклЕМИК 3.2.1. Градуированным многообразием размерности (п,т)
называется пара (Z, А), состоящая из /t-мерного гладкого многообразия Z и
пучка А - Д) Ф Д| градуированных алгебр ранга т, который удовлетворяет
следующим условиям |30|.
