Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
гомоморфизм hrl является изоморфизмом, а Лп+1 - эпиморфизмом.
Непрерывное отображение топологических пространств / : X -> Y порождает
гомоморфизм групп сингулярных гомологий
/. : Я"(Х) -н. Я.(У)
118
Глава 3. Топологические характеристики в теории поля
и они, как и гомотопические группы, являются гомотопическими
инвариантами, т. е. изоморфны для гомотопически эквивалентных
пространств.
Если группы гомологий НР{Х, Е) конечнопорожденные и нетривиальны для не
более чем конечного числа значений р, можно ввести числовые гомотопически
инвариантные характеристики пространства X - числа Бетти
bp = dim НР(Х, Е)
и эйлерову характеристику
Х(Х) = ^2(-1 уър.
Для пространств, гомотопически эквивалентных конечным клеточным
разбиениям определенного класса (конечным CW-пространствам), эйлерова
характеристика приобретает наглядный смысл
%(Х) = ^(-1)Р7Р1
Р
где 7р - число р-мерных клеток разбиения. Например, эйлерова
характеристика сфер
Х(5п)=1+(-1Г.
Когомологии
Двойственной к гомологиям конструкцией являются когомологии. Пусть В -
цепной комплекс (3.20) и К - числовое кольцо. Обозначим Вр абелеву группу
всех гомоморфизмов /р : Вр -> К и введем гомоморфизм
dp : Вр -> Вр+\
определяемый следующим образом:
1ЧР+1 tPi, "
•7+1 ¦ -°р+1
dpfp = (-1)р+'/Ч+1 : Вр+1 - К.
Легко убедиться, что
лР+'лР tP _ tPL, "
р+1 Пр+2
для всех /р G Вр. Таким образом, последовательность
dp+ldp/p = -Гдр+1др+2 = о
(3.22)
определяет комплекс абелевых групп, который называется коцепным
комплексом. Элементы ср группы Вр называются р-мерными коцепями, элементы
из Kerdp С Вр (т. е. такие, что dpcp = 0) называются р-мерными коциклами,
а элементы из Imdp_l с Вр (т. е. такие, что с? = dp~lcp~') - р-мерными
кограницами. Фактор-группы
Kerdp/ Imd:
р-i
элементами которых являются классы эквивалентности р-мерных коциклов с
точностью до кограниц, называются группами когомологий Нр комплекса
(3.22).
§3. Гомологии и когомологии
119
Когомологиями, двойственными сингулярным гомологиям, являются когомологии
де Рама внешних дифференциальных форм на многообразиях. Пусть
Р
- градуированная алгебра внешних дифференциальных форм на n-мерном
многообразии X. Оператор внешнего дифференцирования определяет
гомоморфизм
d:Qp-*np+',
такой, что dd = 0. Это наделяет алгебру Q структурой коцепного комплекса
... (3.23)
Он называется комплексом де Рама. Его р-мерными коцепями являются р-формы
а, коциклами - замкнутые формы, а кограницами - точные формы. Группы
когомологий этого комплекса именуются группами когомологий де Рама Нр(Хп)
дифференциальных форм на многообразии Хп. Они образованы классами
эквивалентности замкнутых форм, разность которых является точной формой,
т. е. а и а1 считаются эквивалентными, если сг' = сг + da". В частности,
группа Н°(Хп ) есть линейное пространство, размерность которого равна
числу компонент связности многообразия X'1. Очевидно также, что Нр(Хп) =
0, р > п.
Пример 3.3.10. Если многообразие X71 стягиваемое, Нр(Хп) = 0, р > 0. Это
является выражением известной леммы Пуанкаре, гласящей, что в евклидовом
пространстве всякая замкнутая форма является точной. В частности, если X
= IR3 и сг - 1-форма (ковекторное поле), условие замкнутости означает,
что rotcr = 0, откуда получается известное следствие, что сг = grad у?,
где tp - некоторая вещественная функция на X. Напротив, на нестягиваемом
многообразии могут существовать неградиентные векторные поля, ротор
которых равен 0. Примером такого поля на плоскости без точки X2 = К2\{0}
является
Ф\ / Фи - Фх \
= 0, оа = - = 1ах = , ау = , (3.24)
р) \ X1 + у2 X1 + у1 J
где Ф - константа, записанное соответственно в полярных (р, а) и
декартовых координатах с началом в точке {0}. ?
Двойственность групп когомологий де Рама Н*(Х) многообразия X и групп
сингулярных гомологий Н,(Х, R) устанавливается билинейной формой -
интегрированием замкнутых р-форм ар по р-мерным циклам ср, реализуемым
подмногообразиями X:
Ы = /о'-
{°Р\0 = / ар. (3.25)
При этом в силу теоремы Стокса
(ар + d<7p-1|cp) = J\ар + dop~l) = J ар + J ар~' = J ар = {ар\ср),
Ср Ср дер Ср
<сгр|ср + дср+1) = J ар = J ар + J dap = J ар = <сгр|ср),
120
Глава 3. Топологические характеристики в теории поля
т. е. билинейная форма (3.25) зависит только от когомологического класса
ар и гомологического класса ср, а тем самым определяет билинейную форму
(| > : НР(Х) (r) НР(Х, Ж) -> Ж,
где (r) означает тензорное произведение векторных пространств. Таким
образом, имеет место теорема двойственности де Рама.
Теорема 3.3.1. Группа когомологий де Рама НР(Х) отождествляется при
помощи билинейной формы (3.25) с пространством линейных форм на Нр(Х, Ж),
и следовательно, НР(Х) и НР(Х, К) изоморфны как вещественные векторные
пространства. ?
Отсюда, в частности, следует, что, как и сингулярные гомологии,
когомологии де Рама являются гомотопическими инвариантами. Например,
через них выражается эйлерова характеристика многообразия
Х(Х) = ]Г(-1)р<1ппЯр(Х).
