Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
коэффициентами в кольце К. Группы сингулярных гомологий обычно
определяются с коэффициентами в Z, К, С. Часто под группами сингулярных
гомологий понимают именно группы с целочисленными коэффициентами из Z. Мы
будем их обозначать просто НР{Х), а весь набор {НР{Х)} как НЛХ).
§3. Гомологии и когомологии
115
Элементами группы гомологий НР(Х) являются классы эквивалентности р-
мерных сингулярных циклов (это цепи такие, что дср = 0) с точностью до
границы (ср = дср+]). Примером сингулярного p-цикла в топологическом
пространстве X служит р-мерная сфера 5Р, которая является образом в X р-
мерного полиэдра, все грани которого обращаются при отображении в X в
точку.
Рис. 12
Пример 3.3.4. Пусть X = R2 \ {0} - плоскость без точки. На рис. 12
кривыми 5, S', S" изображены представители трех классов эквивалентности
1-мерных сингулярных циклов в X. Цикл S является границей и его класс
эквивалентности соответствует нулю группы Hi(X). Цикл S" эквивалентен
циклу 25', и можно проверить, что любой цикл в R2 \{0} эквивалентен
некоторому циклу п5', п 6 Z, так что ЯЦК2 \{0}) = Z. ?
Пример 3.3.5. На торе Т2 всякий 1-мерный цикл эквивалентен циклу
nS + mS1, п, тп 6 Z,
(рис. 13) и Я,(Т2) = Z(r) Z. ?
Пример 3.3.6. На бутылке Клейна К2 всякий 1-мерный цикл эквивалентен
циклу
nS + mS1, п, m G Z,
но (рис. 14) цикл 25 является границей, т. е. эквивалентен 05. Поэтому
НХ(К2) = Z2(c)Z. ?
116
Глава 3. Топологические характеристики в теории поля
Пример 3.3.7. Пусть X = S2 - сфера. Очевидно, что H[(S2) = 0. Рассмотрим
H2(S2). Примером ненулевого 2-мерного цикла на S2 является сама сфера S2.
Примеры других неэквивалентных 2-мерных циклов на S2 могут быть получены
отображениями / сферы S2 на X = S2, различающимися степенью отображения
/, и H2(S2) = Z. О
Отметим важное преимущество сингулярных гомологий в сравнении, например,
с бордизмами. Поскольку граница (3.21) сингулярного симплекса f(X) в
топологическом пространстве X определяется, грубо говоря, как образ
df(cr) = f(da)
границы стандартного симплекса в Ж", построение такой границы в X и тем
самым задание цепного комплекса не требует какой-либо добавочной
структуры на X, например структуры многообразия, как в случае бордизмов.
Поэтому сингулярные гомологии могут быть определены для любого
топологического пространства. В частности, если X ориентируемое
многообразие, имеется эпиморфизм групп бордизмов Clp(X, Q) на группы
гомологий НР(Х, Q) с рациональными коэффициентами. Это означает, что
всякий сингулярный цикл в ориентируемом многообразии X, будучи умноженным
на некоторое рациональное число, представйм подмногообразием в X.
Приведем некоторые свойства групп сингулярных гомологий Н,(Х, К).
Они абелевы.
Образующими элементами группы Н0(Х, К) являются компоненты линейной
связности пространства X и для 1-связного пространства Н0(Х, К) = К.
Если X - стягиваемое пространство, НР(Х, К) = 0, р > 0.
Если X" - замкнутое связное п-мерное многообразие, тогда:
НР(Х", К) = 0 при р > п;
Нп{Хп, К) = К, если Хп ориентируемо;
Н"(Хп) - 0, если Хп неориентируемо.
Пример 3.3.8. Гомологии сфер:
H0(Sn) = Hn(Sn) = Z;
Hp(Sn) = 0, p^O, п.
?
Пример 3.3.9. Гомологии проективных пространств:
Яо(ЖР") = z2 Я"(ЖРП).= |
Нр(ШРп) = |
?
Группы гомологий, с которыми приходится иметь дело в приложениях,
обладают конечным числом образующих элементов и поэтому изоморфны прямой
сумме циклических и свободных групп. Если группа гомологий содержит
циклическую подгруппу (т. е.
0, п = 21,
Z, п = 21+1;
0, р = 21
Z2, р = 2Z + 1, 0 < р < п.
§3. Гомологии и когомологии
117
такой элемент h, что hk = 1 для некоторого натурального А;), то говорят,
что она содержит кручение, например, группа
Я, CRT2) = Z20Z
из Примера 3.3.6 и группы
Н2М(ШРп) = z2
из Примера 3.3.9.
Как уже отмечалось (см. Примеры 3.3.3, 3.3.6), класс эквивалентности
цикла может зависеть от выбора кольца коэффициентов К. Например, если
группа
я,(я2) = ъ2@ъ
имеет два образующих элемента, то группа
Н2{К\ Q) = Q имеет один образующий элемент. В случае К = Q, Е
Hp(X,Q)=Hp{X)(r)Q,
Нр(Х, Е) = Нр(Х) (r) м.
Напомним, что тензорным произведением двух абелевых групп А(r) В называются
всевозможные конечные суммы вида
УУ а, (r) hi, а{ 6 А, Ь{ G В,
i
при условии, что
(а, + а2) (r) (Ь, + Ь2) - а, (r) 6, + а2 (r) b, + а, (r) Ь2 + а2 (r) Ъ2.
Можно показать, что тензорное произведение любой конечной группы на
группу Q или Е равно нулю. Отсюда, в частности, следует, что группы
гомологий НР(Х, Q) и НР(Х, Е) не содержат кручения.
Сравнивая гомотопические группы и группы сингулярных гомологий для
плоскости без точки (см. Примеры 3.1.4 и 3.3.4) и для сфер (см. Примеры
3.1.5 и 3.3.8), можно предположить наличие некоторой связи между ними.
Существует гомоморфизм Гуревича
К : ""(*) -" Нп(Х).
При п = 1 его ядром является коммутант группы 7Г](Х) (т. е. подгруппа,
порождаемая элементами вида a~lb~lab из 7Ti(X)), и, если ^(Х)
коммутативна, она изоморфна Я,(Х). Если 7Г,(X) = 0 для всех i < п(п > 1),
