Постоянная тяготения и масса земли - Сагитов М.У.
Скачать (прямая ссылка):
— ~~dw S Aan-1Pn (cos (я + ф — гр». (61)
Ti=X
Опираясь на равенства (58), (60) и (61), напишем выражение для момента сил притяжения в виде разложения в ряд по полиномам Лежандра:
OO
®гпР(ф,'Ф) = — 2 (cos(ф —я]))) +
’ П=1
CO
+ is Aan-1P п (cos (я + ф — ?)). (62)
Y гг=1
Представим выражение (62) для CSRnp (ф, ?) в виде ряда Маклорена по степеням малого угла ф:
ф4
®ПР(Ф, ?) = S -J- ^)1<р=0’
Tc=O
где
n=i
dfc+tPn(COS (ф-1|>))
гіф11+1
й*+фп (COS (л + ф — 1|))) гіф*+1
Теперь выражение для ®1Пр (ф, ?) можно написать в виде
dk+iPn (C0S (Ф — ?))
ГОпр (ф> У) =
Р2
0-3 CO
-sgs*
fc=o n=l
гіфН-і
dk+iPn{cos (Я + Ф — •ф)) ri<pfc+1
I • (63)
Jcp=O
MOMKHT СИЛ ПРИТЯЖЕНИЯ
151
Коэффициенты при различных степенях угла ф обозначим
^ _ 2fHt1ITii V „г
а*--------psfcf—2iffl
п=1
d,c+1Pn(cos (я -f ф—?)) ^pfe+1
dk+lPn(cos (ф — ?)) Лр*+1
Ф=0
тогда выражение момента сил притяжения (63) перепишется в следующем компактном виде:
OO
®пр(ф,'1з)=Е«И11,)ф'[' (Щ
к=о
Если крутильная система с массами Tn1 и притягивающие массы т2 симметричны относительно оси крутильной нити, то
Pn (— COS (ф — Ij))) = Pn (cos (ф — Ij))), п — четно,
Pn (--COS (ф — Ij))) = — Pn (cos (ф — Ij))), п — нечетно.
Имея в виду последние соотношения для полиномов Лежандра , перепишем выражение для ак следующим образом:
Co
dfc_l'1Pn(cos(9—-ф))
Pzfel
п=1, 3. 5
гіф11'+1
*] '
J<P=0
(65)
Для вычисления производных от полиномов Лежандра можно воспользоваться известным соотношением:
dK+1Pn (cos (ф — ij))) _
гіф*+1
Е (ft-и \
у (2п — Zi —¦ I)!! (2t —¦ 1)1! (— 1) 2 X
= (2/г — 2г)П (2*)!!
/Cos (п — 2г) (ф — Ij)), к —
X(n-2i)k+\ (66)
\sm(n — 2г)(ф — 'ф), к- ------
нечетно,
четно.
152
УТОЧНЕННАЯ ТЕОРИЯ КРУТИЛЬНЫХ ВЕСОВ [ГЛ. V
Верхний предел в сумме равенства (66) равен такому числу, что ряд обрывается членом, сомножителем которого является одна из функций sinO, sin (<p— ip), cosO, соэ(ф—г|з).
Выражение (65) для коэффициентов (? с учетом (66) и положив ф = 0, можно записать в виде
OO
/1Ч Sfmim2 Vi (2п — 2г—1) !! (2г — 1)!! (п — 2іу'л 1
MW=-W- -------(2» — 2І) I! (?)!Г- X
/—COS(п— 2г')і]з, к —нечетно,
X (—1) 1 2 Ч 0 , (67)
\sin(n — 2г)і|), к—четно.
Преобразуем двойной ряд в равенстве (67), чтобы суммирование по аргументу тригонометрических функций было однократным. Тогда
00 у sin (21 I) ijj, к — четно,
а* ДО) = 2 «М \ /о 1.4 м і- (68)
г=0 4 — cos(2t + l)i|>, к — нечетно,
где
е{н+^
2i+2J/07 _L <чк+1/
о/шілца a? ai\U +1) (Z/—I) II (Z/ + 1 + Щи (— ч
- р2к\ (2/) !!(2/ + 2 + 4/)!!
(69)
Таким образом, равенство (69) показывает, что коэффициенты a h(\]j) в разложении момента сил притяжения являются сложной функцией угла т|>.
Для примера приведем развернутые в'ыражения для первых двух коэффициентов ah, т. е. для а0 и ах:
ао = _ [(а0 + I а2 + + ...)8inlj,+
+ + + ---) sin Зф +(§ga4+JoS а®+
+йіа8+--Osin5^+ •••]’
ei=^[(ao + 4a* + ga‘+-)cos>l.+
. /45 j . 315 . , 1701 я , \ 0 . , /1575 , , 5775 „ ,
+ Iya + 128а+ 1024® + ••-Jcos 3^+(і28а + 1024 а +
. 32175 8 , \ г , і 1
+ 8192 а------hj c°s5^ + -..j.
Момент сил притЯжёний
153
Таблица 13
0 1 2 CO 4 5
0 1 2 3 4 5 —0,2779 —0,2779 +0,1390 +0,0463 —0,0116 —0,0023 —0,1327 —0,3980 +0,5971 +0,5971 —0,4478 —0,2690 -0,0438 -0,2191 +0,5477 +0,9128 —1,1410 —1,1410 -0,0131 —0,0917 +0,3208 +f), 7486 —1,3100 —2,1249 —0,0037 —0,0336 - [-0,1512 +0,4537 — 1,0208 —1,8374 —0,0010 —0,0114 +0,0627 +0,2298 —0,6320 — 1,3904
*\| 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 —0,003 —0,0037 +0,0239 +0,1034 —0,3360 —0,8736 —0,0001 —0,0011 +0,0085 +0,0427 —0,1603 —0,4308 0 —0,0003 +0,0029 +0,0166 —0,0705 —0,2396 0 —0,0001 +0,0010 +0,0061 —0,0291 —0,1106 0 0 +0,0003 +0,0022 —0,0011 — 0,04800
В табл. 13 приведены числовые значения коэффициен-т°в вычисленные для а — 0,5 и для ряда последо-
вательных значений к к I. При этом мы ограничились коэффициентами членов до ф5, в предположении, что амплитуда колебаний крутильной системы достаточно мала (фтах<С2°)* Тогда ф5 не будет превышать 5-Ю”8 радиана. В таблице
приведены значения коэффициентов для кРаткос-
ти только с четырьмя значащими цифрами. Ho она дает качественное представление о характере изменения этих значений.
Момент сил притяжения 5Кпр (ф, ?) изменяется в зависимости от разности углов ф — f и отношения а = —Pi/Pa- Характер этого изменения представлен на рис. 25. Кривые SRnp рассчитаны для а, равного 0,9, 0,67 и 0,2. При определении постоянной тяготения притягивающие массы помещаются так, чтобы они оказывали максимальное действие на крутильную систему. Взаимное положение масс To1 и пц характеризуется в нашем случае отношением а и углом ф — ?. Для определения максимального
154 УТОЧНЕННАЯ ТЕОРИЯ КРУТИЛЬНЫХ ВЕСОВ [ГЛ. V
значения SRnp (ф — i|>) по переменной ф —при фиксированном значении а запишем условие экстремума
