Постоянная тяготения и масса земли - Сагитов М.У.
Скачать (прямая ссылка):
В заключение еще раз подчеркнем, что идея об изменении постоянной тяготения во времени, в зависимости от скорости движения притягивающихся масс, их положения в пространстве, заполненном другими массами, является дискуссионной с теоретических позиций. Она имеет много сторонников и еще больше противников. Отсюда и дискуссионность многих предложенных опытов.
Основной вывод, который следует сделать из настоящего параграфа, состоит в том, что зависимость постоянной тяготения от различных факторов, если она и есть, должна определяться из дифференциальных опытов. Эти зависимости не могут быть обнаружены из абсолютных измерений кавендиша гравитационной постоянной, точность которых на много порядков ниже, чем дифференциальных измерений.
Глава V
Уточненная теория определения постоянной тяготения с помощью крутильных весов
§ 27. Постановка задачи
В настоящей главе рассматривается теория крутильных колебаний крутильной системы в неоднородном гравитационном поле притягивающих масс. Под крутильной системой подразумевается коромысло, несущее на концах массы и подвешенное за середину на тонкой идеально упругой нити, вокруг оси которой могут совершаться крутильные колебания. Размеры, взаимное положение и распределение плотности масс крутильной системы и притягивающих ее масс предполагаются точно известными. Крутильная система, выведенная из положения равновесия и представленная самой себе, начинает совершать затухающие колебания. Период колебаний зависит от постоянной упругой нити, постоянной тяготения и коэффициента, характеризующего вязкое сопротивление. При составлении дифференциального уравнения крутильных колебаний учитывается момент сил притяжения, момент упругих сил нити и момент сил вязкого сопротивления движению крутильной системы. Теория крутильных колебаний рассматривается ниже с точки зрения использования ее для определения постоянной тяготения.
В дальнейшем представляется удобным придерживаться следующей последовательности изложения. Сначала рассматривается выражение момента сил притяжения относительно оси нити между элементарной массой крутильной системы и точечной притягивающей массой. Затем в общем виде выводится выражение момента сил притяжения для крутильной системы и притягивающей массы, имеющих производную форму и плотность. После этого составляется дифференциальное уравнение крутильных
148
УТОЧНЕННАЯ ТЕОРИЯ КРУТИЛЬНЫХ ВЕСОВ [ГЛ. V
колебаний. Его решение находится асимптотическим методом, успешно применяющимся в теории нелинейных колебаний. При этом используется методика решения, изложенная в книге Н. Н. Боголюбова и Ю. А. Митропольского [2]. Приводятся два приближения в решении задачи, которые оказываются достаточными. В заключение дается анализ решения с целью определения постоянной тяготения.
§ 28. Момент сил притяжения
Займемся выводом момента сил притяжения меяеду крутильной системой и притягивающими массами. Аналитическое выражение момента сил в случае тел произвольной формы и плотности получается достаточно сложным.
Выведем сначала формулу для момента сил притяжения между шаровой массой Trt1 крутильной системы и шаровой притягивающей массой т2, расположенной в той же горизонтальной плоскости, что и масса Zre1. Обозначим расстояние массы Tn1 от оси нити через P1. Ее отклонение в горизонтальной плоскости от некоторого исходного направления в этой плоскости будем характеризовать углом ср (рис. 24). За исходное направление удобно принять направление равновесного положения крутильной системы. Расстояние массы TTi2 от оси нити обозначим р2, а угол между направлением на массу т2 и исходным направлением — через т|). Предполагается, что р2 P1.
Рис. 24. Схема расположения притягивающихся масс ті и тч.
МОМЕНТ СИЛ ПРИТЯЖЕНИЯ
149
В опытах по определению постоянной тяготения крутильная масса изготовляется симметричной относительно оси нити. Симметрично располагаются и притягивающие массы. Поэтому рассмотрим момент сил притяжения между двумя массами Tti1, симметрично расположенными на концах невесомого коромысла, и двумя притягивающими массами т2, симметричными относительно оси крутильной нити. Сила взаимного притяжения между двумя близкими массами M1 и т2 выражается так:
Момент сил притяжения, действующий на рассматриваемую элементарную крутильную систему, выражается равенством
Преобразуем выражение (57), введя для упрощения новые обозначения:
Напишем производящую функцию для полиномов Лежандра Pn(cos((p—г|э)):
Возьмем производную по <р от обеих частей равенства (59)
/Wima
+ ?1 — 2pip2 COS (ф — -ф) ’
а между дальними массами In1 и т2 —
F 2 =
fmirrii
?\ + P2 — 2pipa cos (л + <р — г|>)
(I — 2a cos (ф — if) + я2)3/2 1
1
(I — 2а cos (я + ф—¦ г|з) + а2)з/2 Sin (ф ф), (58)
где
2fmimapx
150
УТОЧНЕННАЯ ТЕОРИЯ КРУТИЛЬНЫХ ВЕСОВ ІГЛ. V
и умножим обе части на величину
А
A sin (ф — ip)
(1—2a cos (ф — ij>)+ я2):|/2
Аналогично получим
___________A sin (Ф — г|?)
(I — 2a cos (я + ф — 'ф) + а2)з/2
d
гіф
2 Aan-1Pn (cos (cp—^)).(60)
