Задачи по оптике - Руссо М.
Скачать (прямая ссылка):
вблизи точки Р, координаты которой равны
х = СР cos 0ft = R sin 0ft cos 0fe,
2 = CP sin 0Й = P sin2 0ft. ^
Для различных значений К уравнение (1) позволяет найти возможные значения
sin 0ft, а из уравнений (4) можно опреде-
230 ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ ЗАДАЧА 4S
лить координаты соответствующих фокусов Fh. Находим
k = 1 2 3 4
sin 0& = 0,1786 0,3572 0,5358 0,7144
6ft = 10° 17' 20° 56' 32° 24' 45°33'
cos 0ft = 0,9839 0,9340 0,8443 0,7003
xk (в m) = 0,175 0,333 0,452 0,500
Zft(B m) 0,032 0,127 0,287 0,510
При изменении 0й геометрическое место точек Fk представляет собой
окружность, уравнение которой имеет вид
Ее центр имеет координаты х0 = 0 и Zo = R/2. В этом случае он расположен
на середине СО (фиг. 43.1). Окружность проходит через С и касается
плоскости в точке О.
РЕФРАКЦИЯ И ДИСПЕРСИЯ
ЗАДАЧА 44
Групповая и фазовая скорости
Вычислите групповую скорость U волн, фазовая скорость V которых
изменяется следующим образом в зависимости от длины волны:
1. Акустические волны в воздухе: V = А, А -константа.
2. Поперечные упругие волны в стержне: V = A/X.
3. Глубоководные волны: V =Ал/К.
4. Капиллярные волны: I/=Л/дД.
5. Ионосферные электромагнитные волны: V ='^с2 + АД2 (с - скорость света
в вакууме).
Групповая скорость синусоидальных волн, каждая из которых характеризуется
угловой частотой со и волновым вектором о = 2яД и угловые частоты которых
распределены вблизи среднего значения и, определяется выражением
1. Если V постоянная величина, среда не обладает дисперсией и dV/dX =
0, a U - V.
РЕШЕНИЕ
2- г=4+4т=21/-
5. ?/ = Ус2 + АД2
и А2к
с
С'
2 Vc2 + А2*,2' Ус2 + А2*,2 V
См. также задачи 54 и 56.
232
ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ
ЗАДАЧА 45
ЗАДАЧА 45
Измерение скорости света методом Фуко I
Измерение скорости электромагнитных волн с использованием стационарных
волн позволяет определить фазовую скорость Дф. В методе зубчатого колеса
Физо, в котором используются очень короткие импульсы, определяется
групповая скорость vg. Покажите, что метод вращающегося зеркала Фуко
также дает групповую скорость vg. При этом надо принять во внимание
изменение частоты, происходящее при отражении от
движущегося зеркала. Покажите, что после отражения от вращающегося
зеркала М (фиг. 45.1) волновой фронт, распространяющийся в диспергирующей
среде, заполняющей трубку Т длиной I, подвергается дополнительному
вращению после выхода в воздух и что это вращение добавляется к вращению,
первоначально вызываемому зеркалом.
II
Майкельсон, используя этот метод, измерил скорость света в сероуглероде,
заполняющем трубку Т, и нашел, что она равна v = с/1,77. Источник S
излучал белый свет. Показатель преломления сероуглерода имеет следующие
значения для длин волн в воздухе, измеренных в мкм:
Яо 0,589 0,550 0,486
п 1,628 1,640 1,652
Покажите, что эти значения находятся в согласии с выводами первого
раздела.
ЗАДАЧА 4!>
РЕФРАКЦИЯ И ДИСПЕРСИЯ
233
РЕШЕНИЕ
I
После прохождения через линзу L плоская волна, отклоненная при отражении
от вращающегося зеркала М, входит в трубку Т. Если пренебречь обычно
малыми релятивистскими эффектами, перемещение зеркала со скоростью и в
направлении, перпендикулярном его плоскости, для излучения с частотой v,
падающего на зеркало под углом i, приводит к такому же результату, какой
был бы при перемещении источника со скоростью 2ucos/. Таким образом,
изменение частоты, обусловленное эффектом Доплера, составляет
Знак + или - выбирается в зависимости от того, направлено ли движение
зеркала навстречу лучу или от луча, падающего на него.
Учитывая это, допустим, что МАТ (фиг. 45.2)-поверхность зеркала,
вращающегося вокруг оси О с угловой скоростью со. Отраженная волна теперь
не является монохроматической. Ее частота изменяется от точки М до М' на
величину
если считать, что ММ' - 2R, и так как и = соR в точках Л1 и М'. Волновой
фронт, проходящий через отверстие трубки АВ при нормальном падении,
распространяется в заполняющей трубку дисперсионной среде с фазовой
скоростью иф, являющейся функцией v:
Фиг. 45.2
Т
(1)
234
ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ
ЗАДАЧА 45
поэтому, используя (1), получаем
dvm 4wR cos i ^vf~~dv с ' (3^
Для сероуглерода, как и для всех прозрачных сред, dujdh является
отрицательной в видимой области спектра. Следовательно при вращении в
указанном на фигуре направлении легко видеть, что скорость нф волнового
фронта в точке А больше, чем в точке В. Волновой фронт распространяется
со средней скоростью, которая является фазовой скоростью излучения,
падающего в точку О, где частота не изменяется, но он испытывает
вращение, угловая скорость которого равна
, А'А" __ Диф dvф 2a>v
(r) ~ А'В' 2R cos i ~~ dv с~ ' ' '
причем знак минус обусловлен тем, что направление со7 противоположно
направлению ю. Выражение, связывающее групповую скорость vg с фазовой:
1 d / v \ 1 v dvа
dv\%J ", % dv
позволяет записать (4) в виде
, 2ш " / 1 1х
(О = - V I I .
С ф V, Vg оф )
За время At = 2//нф, необходимое для прямого и обратного прохождения по
