Задачи по оптике - Руссо М.
Скачать (прямая ссылка):
1м = Е № + Exf + [Ег + Е'г)2)
(суммирование ведется по всем диполям), и минимумы даются выражением
Im=Z{(Ex-E'x)2+(Ez-E'z)2}.
ЗАДАЧА 18
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ОПТИКА
9Е
Определяя контрастность как
¦п ^ М ^ т
I 4-1 '
' 'т
получаем
г Е(2(дХ + дг<)} ,н
Т,(Е2х + Е'х2+Е1 + Е?) D
Теперь необходимо принять во внимание случайную ориентацию диполей, оси
которых равномерно распределены по всем элементам телесного угла =
sin0c?0d(p. Суммы N и D заменяются интегралами:
2я я/2
N = 2 \ dy \ dO (ЕХЕ'Х + ЕгЕ'2) =
ф=о е=о
2я я/2 2Я я/2
= \ cos (ф ± у) cos ф dy \ sin30c?0-f 2 \ dy \ cos20sin0d0*
ф=0 6=0 ф=0 6=0
Однако
Я/2 я/2
^ sin30c?0 = -j^ (1 - cos 20) sin 0 dQ =
о о
Я/2
-Y \ (2cos20-I)sin0d0 = -|-,
о
Я/2
^ cos2 0 sin 0 d(r)=^d °° з~) = J.
о о
2я
N = -у ^ cos (ф ± у) cos ф dy + =
о
2Я 2Я
= -|- ^ cos усоз2фс?ф =F ^ sin у sin ф cos ydy -f- 4р, о о
JV=^(1+cosv). .
2Я Я/2
Z)= ^ ^ {sin2 0 [cos2 ф -f- cos2 (ф ± у) + 2 cos2 0} sin
0 с?0 =
ф -О 6=0
2Я Я/2 2я я/2
= С [cos2ф + cos2(ф ± у)]dy ^ sin30c?0+2 [ dy ^ cos20sin0c?0.
ф.О е=о Ф-0 е=о
92
ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ
ЗАДАЧА 18
Последний интеграл рассчитывался ранее. Так как
Л/2
^ sin30d0=~,
о
2я 2я
D=j\ cos2Фd<P + -f- § cos2(Ф ± у) d (Ф ± у) + 4f = X>
о о
тогда
р iV _ _ 1 + cos y ~D " 2 •
При у - 0 имеем Г = 1. Опыты Френеля с зеркалами аппроксимируют этот
случай, так как при этом происходит интерференция волн, испускаемых
единственным источником вдоль приблизительно параллельных направлений.
При у = л получаем Г = 0. Наконец, при у = л/2 имеем
Г = 7г.
ИЗЛУЧЕНИЕ И ПОГЛОЩЕНИЕ
ЗАДАЧА 19
Фотометрия. Система Земля - Солнце
Один квадратный метр земной поверхности, освещаемый солнцем при
нормальном падении излучения, получает поток в 1,35 Вт, если пренебречь
поглощением атмосферой.
1. Рассчитайте поток, испускаемый одним квадратным мет< ром солнечной
поверхности, считая, что она излучает по закону Ламберта. Вспомним, что
кажущийся угловой диаметр Солнца, видимый с Земли, равен 2а = 32'.
2. Рассчитайте потерю солнечной массы в секунду за счет излучения, считая
расстояние Земли от Солнца равным 5-107 км.
3. Будем считать, что поверхность Земли равномерно рассеивает долю р
падающего потока излучения. Рассчитайте яркость Земли.
4. Рассчитайте амплитуду электрического и магнитного полей на поверхности
Земли, обусловленных облучением.
РЕШЕНИЕ
1. Солнце излучает согласно закону Ламберта, и его яркость 3?
постоянна. Поток, испускаемый элементом солнечной поверхности dS в
телесном угле dQ, ось которого образует угол 0 с нормалью к dS, равен
d2(r) = &dS cos В dQ. (1)
Принимая за dQ телесный угол, лежащий между двумя конусами с вершиной на
dS, осью, нормальной к dS, и апертурой 20 (фиг. 19.1), имеем
d2Ф = 3? dS cos 0 2л sin 0 dQ.
Поток, излучаемый элементом dS во внешнее пространство, равен
Я/2 Я/2
d<D = л3?dS ^ 2 sin 0 cos 0 dQ = пЗ?dS ^ 2 sin Qd (sin 0),
о 0
dd> - яЗ dS [sin(r) 0]"/2 = nS? dS.
94
ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ
ЗАДАЧА 10
Отношение йФ/йЭ = В представляет собой светимость, или из-лучательную
способность, поверхности. Для излучателя, который подчиняется закону
Ламберта, имеем
Заметим, что сфера, которая излучает по закону Ламберта, эквивалентна
плоскому диску, множитель cos 0 в (1) точно компенсирует наклон
поверхности, отсчитываемый от нормали. Именно таким образом и видно
Солнце.
Поток (1), испускаемый Солнцем и падающий по нормали к поверхности dS'
Земли на расстоянии г от Солнца, может быть записан как
Освещенность, создаваемая солнечным диском, который виден под углом
2. Исходя из соотношения между массой и энергией, можно написать
В = п2'.
(-}
d20 = S^dS~.
Создаваемая освещенность по определению равна
равна
<? = 3?па2.
Таким образом, светимость Солнца имеет величину
= 5,8- 107 Вт/м2.
А
А т= -
где с - скорость света в вакууме.
ЗАДАЧА 20
ИЗЛУЧЕНИЕ И ПОГЛОЩЕНИЕ
95
Можно рассчитать суммарную мощность, теряемую Солнцем, учитывая, что она
равна мощности, получаемой единичной площадью поверхности Земли,
умноженной на площадь поверхности сферы с радиусом, равным расстоянию от
Земли до Солнца, т. е.
Ф = 1,35 • 103 ¦ 4я • (15)2 • 1020 = 3,815 • 1026 Вт. Следовательно,
потеря массы в секунду равна
Дт = % = 3,(8з15ю'Г- = 4-24 •109 кг>
что соответствует годовой потере в 1,4 -1013 т. Однако масса Солнца равна
2-1027 т.
3. Площадь поверхности Земли, которая получает поток е?Ф, вновь излучает
в пространство поток е?Ф/ = ре?Ф. Таким образом, светимость Земли равна
г>, dO>' dO "
dS' Р dbr ~ Р
и ее яркость будет
S' = -<§.
П
4. Средняя освещенность, создаваемая плоской электромагнитной волной,
связана с амплитудой электрического поля соотношением
ЕА 2
{&>) - &oc
отсюда
С2 2(ff> 2 • 1,35 • 103 • 36я • 109 1Г11 0 1П4
Ет =---------зпщ-----------= 101,8- 10*.
Ет = 1010 В/м.
Магнитное поле волны имеет амплитуду
и ' с ЮФ о ¦7 л /
т т 3 1П8 1 QR 1П-6 2,7 А/м.
с|а0 3 ¦ 10 • 1,26 • 10
ЗАДАЧА 20
Спектры и энергия лазера
Возбужденный соответствующим образом рубиновый лазер излучает гигантский
