Задачи по оптике - Руссо М.
Скачать (прямая ссылка):
излучения.
Численный пример. Подсчитайте давление, производимое солнечным излучением
на землю, считая, что земля - идеальный рассеиватель.
Параметры даются в задаче 19.
РЕШЕНИЕ
Импульс, переносимый в одну секунду па-
дающими фотонами, заключенными в цилиндре длиной с с поперечным сечением
S cos 1 (фиг. 16.1), равен
л г h\ "
N - cScosi, с '
так как импульс фотона равен hv/c. Сила, действующая на зеркало в
направлении падения, равна
F - NhvS cos i,
и давление излучения, перпендикулярное поверхности, равно
<д - JL^l = Nhv cos2 i = w cos21, (1)
поскольку плотность излучаемой энергии равна Nhv, где hv- энергия фотона.
а) Если вся поверхность поглощает, то давление излучения определяется
выражением (1).
б) Если поверхность - зеркало с коэффициентом отражения R, то часть R
падающих фотонов покидает зеркало в направлении, симметричном
относительно нормали к зеркалу, и эти фотоны обладают импульсом
n Nhv с .
R cS cos 1.
ЗАДАЧА 1?
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ОПТИКА
81
Соответствующее давление равно
й' = RNhv cos2 i = Rw cos2 i, и суммарное давление излучения становится
равным
й + й' = w (1 + R) cos2 С (2)
в) Если поверхность - идеальный рассеиватель, то падающие фотоны
рассеиваются от поверхности во всех направлениях с равной вероятностью.
Тогда вероятность того, что фотон рассеивается в телесном угле сШ, равна
сШ/2л - sin i di, если принимать за телесный угол тот угол, который лежит
между двумя конусами с углами полураствора г и г + di соответственно.
Среднее значение проекции импульса фотона, рассеивающегося с поверхности
под углом г с нормалью к поверхности, равно
Я/2
С hv ..... hv \ -cosi sinidi=-~.
J с 2 с
О
Это соответствует давлению
,, . hv w " .
со = Nc cos i-~~2 cos г>
к которому прибавляется давление падающих фотонов, определяемое
выражением (1). Общее давление равно
й = w (cos2/ + у cosг) . (3)
Численный пример. Используя параметры задачи 19, получаем, что 1
м2 поверхности земли получает при нормальном падении света
плотность потока Ф= 1,35 -103 Вт. Плотность энер-
гии равна w - Ф/с, и при i = 0 уравнение (3) дает
3 3 ¦ 1,35 • 103 n С-7С т-5 1Т/ ?
ю =- w = ¦ уу ]0- = 0,675 • 10 Н/м2,
что составляет около 3Д мг/м2.
ЗАДАЧА 17
Антенны
I
Начертите в плоскости, проходящей через диполь Герца, который
ориентирован вдоль оси z'Oz, полярную диаграмму, изображающую величину
электрического поля Е и поток излучения Ф. Покажите, что поток можно
представить в виде джоулева
82
ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ
ЗАДАЧА 17
тепла, рассеиваемого переменным током, который проходит через диполь и
имеет максимальное значение 1т. Подсчитайте возникающее при этом
сопротивление (сопротивление излучения антенны). Выразите поле как
функцию мгновенной интенсивности тока I.
II
Рассмотрите линейную антенну, ориентированную вдоль z'Oz, имеющую длину
немного меньшую, чем длина излучаемой волны, и изолированную на концах.
При I = Я/2 выведите выражение для стационарного состояния тока,
возникающего в антенне. Напишите выражение I (z) для интенсивности тока в
зависимости от ординаты z точки на антенне. Выберите начало координат в
центре антенны. Исходя из полученного в первой части задачи выражения для
поля Е, которое можно здесь считать описывающим величину dE, излучаемую
элементом длины антенны, найдите поле излучения на большом расстоянии г0
от точки О и начертите полярную диаграмму в плоскости, проходящей через
z'z.
III
Рассмотрите длинную линейную антенну, образованную из N сегментов длиной
Я/2, между которыми вставлены N-1 идентичных самоиндуктивностей
пренебрежимо малых размеров и значение которых таково, что они вызывают
сдвиг фазы тока на л. Установите направление излучения на полярной
диаграмме в плоскости, проходящей через z'z.
РЕШЕНИЕ
I
Излучаемое электрическое поле на расстоянии г от диполя Герца в
направлении, образующем угол 9 с осью диполя, определяется выражением
" 1 <s>2dm sin 0 . /, г \
= 4^-^Т 5Ш Ч* - Т) ¦ (1>
где dm - амплитуда диполя, колеблющегося по синусоидальному закону с
угловой частотой со. Магнитное поле Я = еосЕв соответствует полю Eq
электромагнитной волны.
Поток излучаемой энергии, который пересекает элемент поверхности,
перпендикулярный направлению ОР на расстояния
ЗАДАЧА 17
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ОПТИКА
83
г от точки О, дается выражением (фиг. 17.1)
9 со4rfl, sin2 0 dh
4Ф = S dl = EqH dl = e0cEl dl =
16л;2е0с3г2
¦0-4)-
(2)
где S = EH - вектор Пойнтинга.
Полярная диаграмма для выражения (1), изменяющаяся как sin 0, приведена
на фиг. 17.2. Полярная диаграмма для (2), изменяющаяся как sin2 0, - на
фиг. 17.3.
Можно считать, что синусоидальный дипольный момент d возникает благодаря
двум осциллирующим зарядам ±<7msin<B<, разделенным малым промежутком г.
Имеем
dm sin at = zqm sin at
и эквивалентны!! ток
следовательно,
I = = соqm cos соt = Im cos соt,
Zl m. (r)dm.
(3)
Далее, суммарный поток, излучаемый в полном телесном угле, может быть
получен интегрированием выражения (2), где di. = 2nr2sin QdQ, так что
