Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
Определение. Пусть А Є cSa. Вероятностную меру а на пространстве Q будем называть гиббсовским состоянием, если
<т = U- (єа ® рід <?)¦
Это определение допускает иную формулировку: вероятностная мера а является гиббсовским состоянием, если для любого конечного множества Л условная вероятность того, что ?|Л реализуется в Л при условии того, что S\{7LV \ Л) реализовалось в TLv \ Л, равна /л(?)-
Теорема 3. Пусть А Є lToct. Тогда
(a) Каждое равновесное состояние является т-инвариантным гиббсовским состоянием.
(b) Если Q = Fz , то любое т-инвариантное гиббсовское состояние является равновесным состоянием.
В силу (а) равновесные состояния являются вероятностными мерами, условные вероятности которых точно такие же, как и у гиббсовских состояний. Часть (Ь) справедлива относительно более общих условий, чем Q = Fz . Предположение о том, что А Є cSa, может быть значительно ослаблено. Для простоты в этом параграфе мы проведем не совсем обычное описание статистической механики с использованием гельдеровских функций на пространстве Г2 вместо «взаимодействий», которые более удобны при детальном изучении предмета.
Теорема 4. Множество гиббсовских состояний для функции А Є cSa является симплексом Шоке.
Таким образом, гиббсовское состояние имеет единственное интегральное разложение на крайние («чистые») гиббсовские состояния.
Физическая интерпретация. Крайние равновесные состояния являются т-эргодическими мерами. Они интерпретируются как чистые термодинамические фазы. Так как равновесные состояния соответствуют касательным к графику функции P (см. теорему 2(a)), то отсутствие непрерывности у производной функции P соответствует фазовому переходу. После этого замечания понятно почему в дальнейшем мы будем интересоваться кусочной аналитичностью (в подходящем смысле) на пространстве cSa.
0.3. Краткий обзор содержания
27
Крайнее равновесное состояние <т может иметь нетривиальное разложение на крайние гиббсовские состояния, которые не обязаны быть инвариантными относительно т (см. теорему 3(b)). В этом случае говорят, что имеет место разрушение симметрии (под разрушенной симметрией мы понимаем инвариантность относительно преобразования т).
Главная цель равновесной статистической механики состоит в понимании физической природы фаз и фазовых переходов. Поэтому основным предметом термодинамического формализма является изучение дифференциальных и аналитических свойств функции Р, а также структуры равновесных и гиббсовских состояний. Как уже упоминалось, подробные результаты получены только в специальных случаях. В предлагаемой монографии мы ограничимся рассмотрением общей теории, которая известна на данный момент.
Достаточно полные результаты получены для одномерных систем, т. е. в случае, когда v = 1. Основной их смысл состоит в том, что в одномерных системах невозможны фазовые переходы. Для того чтобы сформулировать точное утверждение, введем пространство
^ = {? = (6с)жє2 Є F1'¦ = 1 при всех х}7
где t = (tuv) — матрица с элементами, равными 0 или 1. Предположим, что существует N > 0, при котором все элементы матрицы tN положительны.
Теорема 5. Если выполнены все упомянутые выше условия, то функция P : Чоа —> R является вещественно-аналитической. Кроме того, для любого А Є Чоа существует только одно гиббсовское состояние, которое также является единственным равновесным состоянием.
Заметим, что эта теорема перестает быть верной при v > 1.
0.3. Краткий обзор содержания
Главы с 1 по 5 этой монографии посвящены общей теории равновесной статистической механики классических решетчатых систем. В них почти все результаты снабжены полными доказательствами. В главах 6 и 7 термодинамический формализм обобщается для систем, лежащих вне пределов традиционной области применения статистической механики. Доказательства здесь в большинстве своем или опущены, или только кратко намечены5. Сейчас мы более подробно расскажем о содержании указанных глав.
5При этом, конечно, везде, где нужно, указаны ссылки на соответствующую литературу.
28
Глава О
В главах 1 и 2 дана теория гиббсовских состояний без предположения об их трансляционной инвариантности (в этом случае вместо решетки Z" рассматривается бесконечное счетное множество L). В главе 3 предполагается инвариантность относительно сдвига и развивается теория топологического давления и равновесных состояний для классических решетчатых систем. Кроме того, получены общие результаты по фазовым переходам. Глава 4 является центральной, в ней устанавливается связь между гиббсовскими и равновесными состояниями. Глава 5 посвящена одномерным системам и, таким образом, предваряет главу 7. В главе 6 теория равновесных состояний распространяется на случай, когда конфигурационное пространство О заменяется произвольным метрическим компактным пространством, на котором группа Ъу действует гомеоморфизмами. Глава 7 обобщает теорию гиббсовских состояний (и все соответствующие понятия) на конкретный класс компактных метрических пространств, называемых пространствами Смейла, на которых группа Z действует гомеоморфизмами. Пространства Смейла включают в себя базисные множества с аксиомой А и, в частности, многообразия с диффеоморфизмами Аносова.
