Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
0.2. Описание термодинамического формализма
23
Функция а —> log z4a) (А, 21) является субаддитивной. Поэтому существует предел
Функция Р: —> R(J{+oo} называется топологическим давлением. Вели-
чина P(A) конечна при всех А Є lTo тогда и только тогда, когда P(O) < +оо. В этом случае функция P является непрерывной (относительно топологии равномерной сходимости в c^) и выпуклой. Величина P(O) называется топологической энтропией. Она является мерой скорости перемешивания действия т.
Энтропия инвариантной меры. Для вероятностной меры а на Q и конечного борелевского разбиения 21 = (21*) пространства О, положим
Множество действительных мер на Q образуют пространство cS*, сопряженное к 4}. Топология сходимости на элементах пространства lTo в cS* называется ^-слабой топологией. Пусть I С lTo * — множество вероятностных мер, инвариантных относительно т, т. е. таких мер а, что <т(А) = а(А о тх) при всех А Є Ч>. Тогда множество I является выпуклым и компактным относительно *-слабой топологии. Для конечного борелевского разбиения пространства О, и меры а Є I положим
где |Л(а)| = cardA(a) = Па*- Положим
P(A)
diam 21—
Iim Р(А7 21).
H(a, 2t) = -5>(2U)log<7(2U).
h(a)
diam 21—»0
Iim h(a, 21).
Функция h: I —> M+ IJ{+c>o} является аффинной и называется метрической энтропией. Если т разделяет траектории, то h конечна и полунепрерывна сверху на множестве I (относительно ^-слабой топологии).
24
Глава О
Теорема 1 (вариационный принцип).
P(A) = sup(/i(«r) + а (А))
<т?І
при всех ie?.
Теорема 1 соответствует вариационному принципу для конечных систем, если —А интерпретировать как вклад в энергию от одного узла решетки.
Предположим, что функция P конечна. Определим множество Ia равновесных состояний для А Є cS, положив
Ia = {o' G I: h(a) + a (A) = P (А)}.
Заметим, что множество Ia может быть пустым.
Теорема 2. Предположим, что функция h конечна и полунепрерывна сверху на множестве I (относительно *-слабой топологии). Тогда
(a) Ia = {o' G cS* : Р(А + В) ^ P(A) + и (В) при всех В Є cS). Это множество непусто', оно выпукло, компактно и является симплексом Шоке и фасадом множества I.
(b) Множество D= {А Є cS'. card/,4 = 1} является массивным в пространстве cS.
(c) Для любого а Є I справедливо равенство
= ~а(А^-
То, что множество Ia является метрическим симплексом, означает, что каждый элемент а Є I имеет единственное интегральное представление как барицентр меры с носителем в множестве крайних точек Ia- Известно, что множество I также является симплексом. Свойство множества Ia быть фасадом множества I означает, что крайние точки Ia содержатся в множестве крайних точек I (т. е. являются эргодическими мерами на Q).
III. Статистическая механика на решетке
Теоремы, приведенные выше, обобщают результаты, известные для конкретных систем статистической механики (классических решетчатых систем). Например, если F является непустым конечным множеством (с дискретной топологией), то мы можем в качестве Q взять пространство Fz
0.2. Описание термодинамического формализма
25
с топологией прямого произведения и определить преобразование Tx очевидным образом. Более общо, мы можем взять в качестве Q замкнутое т-инвариантное непустое подмножество Fz . В этом случае Q допускает физическую интерпретацию как пространство бесконечных конфигураций системы спинов на кристаллической решетке Uj. С точностью до знака и множителя /3 величину P можно рассматривать как «свободную энергию» или «давление» в зависимости от физической интерпретации F как множества «значений спина» или «чисел заполнения» в узлах решетки. Для простоты мы будем употреблять термин «давление».
Если х = (х1) Є Hj, то положим \х\ = тах|жг|. Пусть 0 < Л < 1. Для С, Tl еО, где С = (ІГ) = (г)х)х&", определим расстояние d при помощи следующего равенства
Очевидно, расстояние d совместимо с топологией пространства П. Нетрудно проверить, что преобразование т разделяет траектории относительно метрики d и, следовательно, справедливо утверждение теоремы 2.
В дальнейшем мы будем предполагать, что существуют конечные множества А с TUj и G С Fa, при которых
Обозначим через ргЛ, ргд, где Л С Zu, проекции пространства Fz на Fa
Пусть 0 < a ^ 1. Обозначим через банахово пространство действительных гельдеровских непрерывных функций на Г2 с показателем а (относительно метрики d). Пусть ? = (Іх) Є 1] = (і]х) Є Если = Tjx при всех х, за исключением, быть может, конечного числа, и А Є lToct, то произведение
конечно и положительно, так как \А(тхС) — A(TxTj) | стремится к нулю экспоненциально быстро при IЖI —> оо. Для любого конечного Л ПОЛОЖИМ
Очевидно, /л является непрерывной функцией на пространстве Q.
d(0 V) = гДе k = mf{M : Cx- ф %}•
О, = {І Є Fz : тхІІА Є G для всех х}.
и \л соответственно.
9а(І, rj) = П exP(А(тхІ) - А(тхгі))
/л(С) — * РГд rj=pr^ ?
,0
в противном случае.
26
Глава О
Для любого конечного множества A (Z Zv обозначим через єд меру на ргл Q, которая приписывает каждой точке этого множества массу, равную единице.
