Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.
Скачать (прямая ссылка):
= v0 (т) имеет вид
V (X, т) =
1
У 4яж6/2с(r)р0
ехр
(т' - т)2
4г6/2сдР0
¦v0(x')dx'. (В.1.33)
Если начальное возмущение представляет собой уединенный импульс, то на
больших расстояниях его поведение определяется асимптотическим выражением
Т*
ехр
v (х, т) =
4ж6/2с(r)р0_
У 4яж6/2сдР0
(т')йт',
(В.1.34)
которое показывает, что профиль импульса является гауссовой кривой.
Преимущественное поглощение высокочастотных составляющих (поскольку а ~
ю2; см. (В. 1.30)) спектра Фурье начального возмущения приводит к тому,
что ширина кривой растет, как У ж, а энергия и амплитуда уменьшаются
пропорционально 1/Ух.
При переходе от системы уравнений (В.1.4) - (В.1.7) к линейному уравнению
(В.1.31) мы пренебрегли рядом нелинейных членов. Необходимо исследовать,
всегда ли допустима такая операция. Рассмотрим, например, типич-
Оценим порядок этого вы-
шли нелинейный член
ражепия по (В.1.31). Принимая
v dv со dt
сравнению с другими
V
VQ
dv ' ~dt
Ф
членами уравнения (О (t - (х1с0))], получим
О)
Со
dv
ду
dt
УоСО
Уо
Со
; М (В.1.35)
со
со
дЧ
2соРо
ага
bv о
Фо
УоСоро
6(0
: Re. (В.1.36)
16
ВВЕДЕНИЕ
Таким образом, уравнение линейной акустики правомерно применять только в
тех случаях, когда безразмерные числа М, Re 1 (М называется числом Маха).
Во всех задачах как линейной, так и нелинейной акустики требование М 1
выполняется. Зато второе условие - малости акустического числа Рейнольдса
Re 1 - часто нарушается, и линейная акустика становится неприменимой.
Эти оценки являются весьма грубыми. Для более корректного определения
границ применимости необходимо наряду с линейным решением знать (хотя бы
приближенно) решение соответствующей нелинейной задачи.
§ 2. Сведения из теории ударных волн
В нелинейной акустике часто приходится иметь дело с такими
распределениями скорости, плотности, давления и т. д., которые включают в
себя резкие скачки этих параметров между двумя постоянными (или медленно
изменяющимися) значениями. Абстрагируясь от конечности "толщины" этих
скачков, т. е. считая их математическими разрывами, можно существенно
упростить рассмотрение ряда вопросов, связанных с их распространением и
взаимодействием. Дело в том, что сложные дифференциальные соотношения,
описывающие гладкое изменение параметров в тонком фронте ударной волны,
пр" таком подходе заменяются более простыми интегральными законами,
связывающими значения параметров по обе стороны от разрыва.
Теория ударных волн представляет собой большой раздел механики сплошных
сред. Она рассматривает существенно нелинейные явления и смыкается с
акустикой только там, где нелинейность мала (слабые ударные
ВОЛНЫ!.
Выберем такую систему координат, в которой рассматриваемая поверхность
разрыва покоится. Потребуем, чтобы при переходе через эту поверхность
скачки всех величин были связаны фундаментальными законами сохранения
потока массы вещества
Pi г>1 = Рг^2.
(В.2.1)
§ 2. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ УДАРНЫХ ВОЛН
17
потока импульса
Pi + Pi^i - Р2 + Ргу2
(В.2.2)
и потока энергии
2 '
(В.2.3)
Здесь индексом 1 отмечены параметры, относящиеся к точке среды,
находящейся непосредственно перед ударным фронтом, индексом 2 - к точке
непосредственно за фронтом. Величина w представляет собой свободную
энергию
прохождения ударной волны. Эту зависимость называют ударной адиабатой или
адиабатой Ранкина - Гю-гонио.
Из сравнения ударной адиабаты (ГГ') и адиабаты Пуассона (изоэнтропы ПП')
на рис. В.1 легко видеть, что при фиксированных pv рх заданному сжатию
соответствует большее давление, чем по изоэнтропе. Это означает, что при
переходе через разрыв энтропия также изменяется скачком, причем в силу
необратимости процесса s2 ^> sv
единицы объема. Исключая из (В.2.3) с помощью п г (В.2.1), (В.2.2)
скорости ух,
v2, получим уравнение
-^)(P2-Pi) = 0, (В.2.4)
определяющее связь между термодинамическими величинами по обе стороны
поверхности разрыва. Если задано состояние среды рх, рх, то уравнение
(В.2.4) устанавливает зависимость между р2 и р2, т. е. определяет то
состояние, в которое переходит среда после
Рис. В.1. Относительное расположение ударной адиабаты (ГГ') и адиабаты
Пуассона (ПП').
18
ВВЕДЕНИЕ
Вычислим изменение энтропии для ударной волны слабой интенсивности, в
которой р2 - р± - ц. Для этого выражение w2 (s2, р2) - wx (sv рг)
разложим в ряд до линейных членов по скачку энтропии и до кубичных - по
скачку давления: dw dsi
W<z - Wi =
(s2 - Si)
dw \ . >2
¦ Pi) +
+
dpi }
+ Цу[){р'- p'r
Согласно термодинамическому тождеству dw =Tds
имеем следующие формулы для производных:
' 'dw \ __ rp I div \ 1
ds jp ' \ dp ) s ^ р '
Выпишем аналогичное разложение в ряд для выражения 1 1
(В.2.5)
+ - dp 1 Р
(В.2.6)
Р2
Р1
Ра
_1_
Pi
dpi
(Рг - Pi) + -у
а' (т
¦ dpi
Подставляя (В.2.5) и (В.2.7) в уравнение адиабаты (В.2.4), получим
формулу
S2 - Sj. =
1
12Ti
da (1/p)
dpi
(Pz - Pi)3,
(Pi - Pi)2-
(B.2.7)
для ударной
(В.2.8)
согласно которой скачок энтропии в слабой ударной волне является малой
