Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.
Скачать (прямая ссылка):
со
= 2 Вп (б) sin шот, (1.5.4)
где
71
Вп = -^-^sin (ют + о sinmoTd(co-r). (1.5.5)
Обозначим 1 = сот -j-cr (г;/г0), тогда согласно (1.5.3) v/v0 - = sin 1 и
вп =-|~^sin?-sin(^
О
¦ па sin ?)•(1 о cos ?) d%. (1.5.6)
§ 5. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН РИМАНА
35
Это выражение сводится к вычисляемым интегралам вида
Г.
¦ ^ cos (v? - по sin t) = /v (no). (1.5.7)
Воспользовавшись рекуррентными соотношениями для функции Бесселя, получим
результат
2 Jn(na)
т
(1.5.8)
Окончательная формула (так называемое решение Бесселя - Фубини)
v V 2/ (по) .
- = >, sm n's>x
Vo *-J n.s
(1.5.9)
позволяет проследить за процессом нарастания гармоник (см. рис. I.-9),
генерируемых квадратичной нелинейностью.
Рис. 1.9. Амплитуда гармоник (га-номер гармоники) на различных
расстояниях от входа системы (о - безразмерная координата).
Это решение справедливо только в области 0 < о < 1, как и исходное
выражение (1.5.3).
При о = 1 начинается формирование разрыва. Во втором приближении фазы
сжатия и разрежения искажаются одинаковым образом, поэтому в силу правила
равенства площадей фронт все время проходит в точке Ит = 0, двигаясь
вместе с волной со скоростью с0.
36 гл. I. ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
В области ff > 1 мы имеем дело с почти пилообразной волной, которая, как
видно из рис. 1.10, быстро затухает
Рис. 1.10. Динамика обращения синусоидальной волны в пилообразную на
больших удалениях от источника возмущения.
по амплитуде. Полагая в формуле (1.5.1) сот = 0, получим трансцендентное
уравнение
arcsin- = с- , (1.5.10)
V0V0 ' '
§ 5. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН РИМАНА
37
позволяющее определить амплитуду разрыва vp (с). С йог мощью рис. 1.8 это
уравнение можно решить графически. Как показано на рис. 1.11, в области 1
< с < я/2 амплитуда разрыва нарастает, и затем при о я/2 начинается
Рис. 1.11. Зависимость амплитуды разрыва vp/v0 от безразмерной координаты
з.
ее монотонное убывание, которое удобно описать асимптотической формулой
(1.5.11)
р
Vo
1 4- з
Выражение (1.5.11) следует из уравнения (1.5.10). Учитывая, что при
больших з прямая ovp/v0 пересекается с функцией arcsin (vp/v0) на ее
пологом участке, мы можем записать: arcsin (vv/v0) "я - (vvlv0) = cr
(vplvu), откуда сразу получается (1.5.11).
Разложение арксинуса в ряд в окрестности vp/v0 = я до линейного по
аргументу члена, по существу, означает, что мы полностью пренебрегли
кривизной профиля и считаем, что он состоит из фронта и прямолинейных
участков. Выражение (1.5.11), следовательно, является точной формулой,
описывающей уменьшение разрыва пилообразной волны. Его удобно
использовать как приближенное при таких з, когда в исходной гармонической
волне разрыв сформируется полностью, т. е. при о /> я/2.
В этой области профиль может быть описан выражением
v =
^- (- ют - я), Ц- {- сот + я),
я </ ют </ 0, 0 ют </ я,
(1.5.12)
38
ГЛ. I. ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
периодически продолженным по сот (рис. 1.12). Используя формулу (1.5.11),
получим
После разложения в ряд Фурье выражение (1.5.13) примет вид
Совокупность решений (1.5.9), (1.5.14) дает представление об изменении
спектрального состава волны почти
Рис. 1.12. Периодическая волна пилообразного профиля в сопровождающей
системе координат. Построение проведено в соответствии с формулой
(1.5.12).
во всей области 0 < а < оо, за исключением небольшого, участка 1 < и
<я/2, где аналитическая форма описания менее удобна *).
Теперь рассмотрим, как изменяется средняя по времени энергия единицы
объема среды, связанная с наличием звуковой волны:
*) Выражение (1.5.9) для амплитуд гармоник удается обобщить на область о
>¦ 1, используя неполные функции Бесселя [133].
(1.5.13)
ОО
v -"у! 2
- 41 п (I ~
-VA-.1 х
п (1 + о)
sm пах.
(1.5.14)
и"
'п
шт
Е = p0iA
(1.5.15)
§ 5. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН РИМАНА
39
271
Для того чтобы ВЫЧИСЛИТЬ к2 = V2 (сот) d (сот),
о
надо воспользоваться найденными решениями либо в форме (1.5.3), (1.5.13),
либо разложениями в спектр (1.5.9), (1.5.14). Мы используем оба этих
приема. При вычислении энергии на первом этапе распространения волны, при
0 < а < 1, удобнее взять выражение (1.5.3). Тогда
2 ^ 2 к2 = -75^ sin2 g(l - scosg) = (1.5.16)
о
Таким образом, до образования разрыва энергия при распространении не
изменяется и равна своему начальному значению. Несмотря на возникновение
гармоник, энергия в простой волне остается такой же, как и энергия
монохроматической волны. Это означает, что происходит процесс перекачки
энергии из основной частоты в высшие гармоники (см. рис. 1.9), причем
так, что
°° р
\ Erua = Ро^ш + Ро^'ги + Ро^зш -Г • • • - ^г° - const.
(1.5.17)
П=1
Соотношение (1.5.17) выражает закон сохранения энергии. Он, естественно,
в нашем случае имеет место, поскольку мы исходили из системы уравнений
Эйлера для идеальной среды.
На втором этапе, там, где волна становится разрывной, воспользуемся
решением в форме (1.5.14). Вычисляя v2, получим
/2 С" 00
о ^V0 V V 1 -----------------------:------
