Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
либо шестого и т. д. вихря, лежащего над (или под) ним. Определим
соответствующее целое т= 1, 2,3, .. . . (После завершения оборота нельзя
попасть на первый, третий и т. д. вихри, потому что они вращаются в
противоположном направлении.) Все течение вращается вокруг оси с угловой
скоростью, не слишком отличающейся от средней угловой скорости жидкости,
равной Qi/2.
Неосесимметричное простое собственное колебание (всегда неустойчивое).
Интенсивность вихря изменяется синусоидально вокруг оси. Взаимное
расположение средних частей вихрей схематически показано на рис. 30.2.
Эта картина вращается вокруг оси.
316
Гл. 30. Инвариантные многообразия в задаче Тейлора
Вихри с осевой волнистостью. Они аналогичны вихрям Тейлора, но их средние
части смещаются попеременно в положительном и отрицательном направлениях
оси z при изменении 0 от 0 до 2л. Обозначим через m,(=1, 2, . . .) число
таких смещений в каждом направлении.
Вихри с радиальной волнистостью. Эти вихри аналогичны вихрям с осевой
волнистостью, за исключением того, что средние части вихрей теперь
смещаются попеременно к оси и от нее в радиальном направлении. Они всегда
неустойчивы. Оба типа волнистых вихрей вращаются вокруг оси с угловой
скоростью, близкой к QJ2.
Т
Во всех случаях можно установить, что после превышения числом Тейлора Т
первого критического значения Т1 ламинарное течение становится
неустойчивым и на него накладываются вихри Тейлора, интенсивность которых
примерно пропорциональна УТ-7\; они устойчивы вплоть до второго
критического значения Га, когда на них накладывается волнистость с
амплитудой, примерно пропорциональной YТ-Г2.
Винтовые вихри накладываются на основное ламинарное течение после Ти т.
е. после того, как основное течение уже стало неустойчивым (см. рис.
30.3). Винтовые вихри неустойчивы в момент своего появления, но затем
становятся устойчивыми при чуть больших значениях Т, как указано на
рисунке сплошными отрезками кривых. Таким образом, это - устойчивые
собственные колебания, которые недоступны в том смысле, что к ним нельзя
перейти от основного течения посредством непрерывной последовательности
устойчивых колебаний.
Экспериментальная работа Голлуба и Суинни [1975] указывает на то, что при
числе Тейлора порядка 200Ti должны появиться странные аттракторы, потому
что эти авторы наблюдали непрерывный энергетический спектр. Вычисления
нельзя продолжить до столь больших значений Т, так как размерность
неустойчивого многообразия становится неприемлемо большой. Конечно, можно
Прилож. к гл. 30. Матрицы, входящие в основное уравнение 317
продолжить вычисления для многообразия меньшей размерности, определив его
при помощи собственных значений, дальше всего ушедших вправо в
комплексной плоскости. Такое многообразие является инвариантным, но не
будет притягивающим. Вычисления подобного рода указывают на то, что
волнистые вихри при этом могут оставаться устойчивыми до очень высоких
значений Т, задерживая тем самым появление странного аттрактора, а
возможно, даже бифуркации более высокого порядка.
Приложение к главе 30.
МАТРИЦЫ, ВХОДЯЩИЕ В ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ В ФОРМЕ ИГЛЗА
Матрицы, входящие в уравнение (30.3.6), имеют следующий вид:
А =
-г. --
vr 1.
0
О
--ee r M > 1 В 2V v a 2 "e r r 0
1 r 0 -:К) -S* V i* 0
0 1 r 0 0 1 V '
0 0 1 r -ie. -s.
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
где B = v [(1/г2) д| + д|] - (Vjr) дд
М =
-1 0 0
(0) 0 1/v 0
0 0 1/v
1(0) (0)
K(U) =
(0)
(0)
" v л я дв - wdz
г г
1 dw v дг
v и . -I- дв г г
1 (v dv\ 1 (v , , \
v(; + a;) -y[^ + wSj
udz
0
(0)
Глава 31
РАННЯЯ СТАДИЯ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
Периодические, квазипериодические, почти периодические и апериодические
движения; ш-предельное множество; аттракторы; энергетический спектр;
устойчивость по Ляпунову; странные аттракторы; аттрактор Лоренца; сильно
типичные, типичные, нетипичные и сильно нетипичные свойства систем.
Предварительные сведения: гл. 29.
В прикладной гидродинамике турбулентным называют течение со столь высокой
степенью хаотичности, что для изучения достаточно широкого набора его
характеристик можно использовать статистические методы. Турбулентность в
этом смысле возникает при существенно более высоких числах Рейнольдса,
чем те, которые мы будем рассматривать. Например, для вполне развитой
турбулентности в воздухе с полностью сформировавшимся так называемым
инерциальным интервалом необходимы более суровые условия, чем те, которых
можно достичь в большинстве аэродинамических труб, и такая турбулентность
наблюдается главным образом в открытой атмосфере.
Между ламинарным течением и турбулентностью существует нечетко
определенная область состояний, называемая переходным режимом или
установлением турбулентности. Мы познакомимся с этим режимом только при
совсем низких числах Рейнольдса. Слово "ранняя" в названии главы
относится к такому реальному течению, для которого число Рейнольдса
растет со временем очень медленно. Рассматриваемые нами течения являются
