Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
вместо dr. Тогда несколько изменится уравнение в сопряженной задаче
(30.4.4) и будут другими сопряженные функции U+(/), но соотношения
биортогональности (30.4.5) останутся верными. Однако только эти
соотношения и имеют значение: они используются для построения проекций
точек неустойчивого многообразия М на соответствующее линейное
многообразие Ж0, касательное к (И в нуле. Скалярное произведение нельзя
выбрать так, чтобы операторы были самосопряженными.
30.1. РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ
Для линеаризованной задачи и, в частности, для задач (30.4.3) и (30.4.4)
на собственные значения переменные могут быть разделены, так что
собственные функции имеют вид LJ = = V (г) е1раг+'тв, где р и т-целые
числа, и поэтому k-ю собственную функцию можно записать как
Vk(r)eipkz+imke , k=\, 2, 3............. (30.5.1)
Одним из преимуществ описанного в § 30.2 метода Дэви, Ди Примы и Стюарта
является то, что, хотя для нелинейной задачи переменные не разделяются,
они разделяются для каждого члена, входящего в представление (30.2.7)
неустойчивого многообразия через переменные xit ..., xk. Появляющийся там
коэффициент ич является элементом гильбертова пространства и поэтому
представляет собой векторную функцию переменных г, 0, г в области Э1,
причем эта функция как раз имеет вид (30.5.1).
Точнее говоря, эти коэффициенты, которые теперь лучше обозначить через Uq
(q является точкой множества 3, определенного в (30.2.8)), и скалярные
коэффициенты a, входящие в
(30.2.9), обладают свойствами, указанными в следующей лемме.
314
Гл. 30. Инвариантные многообразия в задаче Тейлора
Лемма. Для всех допустимых j и q коэффициенты а/ц могут быть отличны от
нуля только тогда, когда р(<\) = p(tj) и т(<\) = = т (еу.); кроме того,
для Uq справедливо представление
Uq = Vq (г) eip <ч> az+'m (ч)0,
где
к к
(q)= S ЯkPk' m(q)- S ЯкЩ
А=1 k=l
и tj-такой вектор из 3?, у которого j-я компонента равна 1, а остальные-
нулю.
Доказательство леммы легко получается индукцией по норме |q | = q1 -f-..
. -\-qK, введенной в § 30.2, и поэтому здесь не приводится .
Преимущество разделения переменных проявляется в том, что линейные
уравнения (30.2.14), которые нужно решать для нахождения uq, оказываются
обыкновенными дифференциальными уравнениями относительно функций от г на
отрезке [ги г2). Для них получаются двухточечные граничные задачи шестого
порядка с тремя граничными условиями на каждом конце отрезка. На каждую
исходную задачу приходится довольно много таких граничных задач
(например, их будет 800, если размерность К неустойчивого многообразия
равна 14 и в рядах (30.2.7) и (30.2.9) берутся члены до пятого порядка
включительно), но современные методы решения этих задач по быстродействию
и точности превосходят методы, применяемые для решения уравнений в
частных производных.
30.6. ПОСЛЕДНИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ПО ЗАДАЧЕ ТЕЙЛОРА
В этом параграфе мы подытожим основные результаты, вытекающие из
численных расчетов Дэви, Ди Примы и Стюарта [1968], Иглза [1971] и тех
немногих дополнительных расчетов, которые были недавно проведены мною на
ЭВМ Сгау-1 в Национальном центре исследований атмосферы (Боулдер, штат
Колорадо), функционирующем в рамках Национального научного фонда.
Пусть внешний цилиндр покоится (П2=0). Тогда интенсивность вращения
обычно характеризуют числом Тейлора
Т = 2Q,\r\ (r2-rx)3/[v (г, + г2)],
пропорциональным квадрату числа Рейнольдса Rx (R2 равно нулю).
С возрастанием Т при фиксированном отношении rjr2 первое собственное
значение линеаризованной задачи, переходящее в правую полуплоскость,
является вещественным и соответствует значению mk=0 в представлении
(30.5.1) для собственных функций. Далее туда перейдет пара комплексно
сопряженных собственных
30.6. Последние результаты по задаче Тейлора
315
значений, соответствующих mh=2, и т. д. Каждое собственное значение имеет
кратность 2 (вырождение соответствует возможности сдвига течения как
целого в направлении г); следовательно, размерность К неустойчивого
многообразия последовательно принимает значения 2, 6, 10, 14, . . . .
Вычисления проводились до значения /(=14. (При еще больших значениях Т
снова встретятся значения mk=0, 1, . . ., но соответствующие им
собственные функции будут более сложным образом зависеть от радиуса; для
этого режима вычисления не проводились.)
Все собственные колебания (устойчивые или неустойчивые), которые
рассматривались до сих пор, соответствовали периодическим траекториям
динамической системы на неустойчивом многообразии (см. (30.2.9)). Это не
относится к основному ламинарному течению (течению Куэтта) и к вихрям
Тейлора, которые являются неподвижными точками этой системы. Кроме уже
рассмотренных нами, существуют следующие собственные колебания.
Z
Винтовые вихри. Они аналогичны вихрям Тейлора, за исключением того, что
после совершения оборота вдоль одного из них при изменении 0 от 0 до 2л
мы попадем не в его начало, а в начало либо второго, либо четвертого,
