Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
для распределения скорости в различных граничных условиях; большинство из
них дано Буссине-ском; однако ни одно из этих предположений не было
достаточно надежным или пригодным, чтобы получить всеобщее одобрение
Попытка дать такое решение для трехмерного турбулентного потока со
сдвигом сравнительно недавно была предпринята, и довольно успешно, школой
Прандтля (см. главу VIII).
275
Сравнение с уравнениями Рейнольдса показывает, что коэффициент е Сен-
Венана включает в себя влияние как молекулярной вязкости, так и
турбулентного переноса количества движения. В случае доминирующего
значения вязкости (ламинарное течение) г=ц; преобладание же в потоке
турбулентности приводит к следующим выражениям:
По аналогии с кинетической теорией газов Прандтль допустил, что массы
жидкости, перемещаемые в поперечном направлении, переносят с собой
среднюю скорость (и, следовательно количество движения) их начальной
точки. Так, в двухмерном потоке, движущемся со скоростью и в направлении
х, обычная пульсация скорости и', образуемая вследствие переноса, может
быть представлена так:
где I - так называемая длина пути турбулентного перемешивания-
расстояние, на котором происходит перемещение.
Далее, если принять во внимание, что вертикальная пульсация скорости и'
пропорциональна и', а турбулентное напряжение рu'v' пропорционально их
произведению, получим
где I включает в себя коэффициенты пропорциональности.
Абсолютная величина градиента принимается такой, чтобы знаки х и
градиента соответствовали друг другу.
Как и в случае коэффициента перемешивания Буссинеска, длине пути
перемешивания должен быть придан в некотором смысле особый вид, чтобы
можно было приступить к анализу. Преимуществом метода Прандтля является
то, что в качестве переменной, возводимой в степень, здесь
рассматривается просто длина, для которой гораздо легче сделать надежные
предположения, чем для коэффициента е, являющегося произведением длины и
скорости. Действительно, понятие длины пути перемешивания может
рассматриваться как допущение, сделанное независимо от вида е:
Решение, полученное таким образом, приведено в главе VIII. Рассмотрим
здесь в качестве примера применение понятия длины пути перемешивания к
решению задачи распределения скорости вблизи стенки. Если вблизи стенки х
равно то, а длину
г" dtt /о
2е - = - ри , е дх
= - рu'v' и т. д. (196)
(197)
(198)
276
пути перемешивания I можно считать пропорциональной расстоянию у от
стенки, тогда
т0 = рk2y2 ij .
Решение этого уравнения обычными способами дает хорошо известную
логарифмическую зависимость, характеризующую распределение скорости:
==- = -j- 1пг/ + С.
То/р k
Значение k обычно принимается равным 0,4. Интересно отметить, что это
уравнение лучше описывает распределение скорости в трубе, где т=Дто, чем
распределение скорости в пограничном слое, где т равно т0. Так как в
трубе т=т0(1-у/г0), эта кажущаяся аномалия может быть устранена простым
допущением, что
-А;
никакое другое допущение не может быть более логичным.
Тэйлор еще в 1915 г. пришел к подобному представлению, рассмотрев,
однако, вместо предположения о сохранении первоначального количества
движения в единице объема при поперечном его переносе проблему сохранения
вихря. В нескольких случаях теория переноса вихря Тэйлора сводится к
теории переноса количества движения Прандтля, но в других случаях
наблюдается существенная разница в распределениях скоростей, полученных
по двум различным теориям.
Карман (в этом, как известно, состояла его гипотеза), пытался установить
связь между характеристиками турбулентности и характеристиками
осредненной скорости. Подобно Прандтлю он предположил, что турбулентные
пульсации пропорциональны длине /, градиенту осредненной скорости ди/ду и
интенсивности напряжения pi2 (ди/ду)2. Длина /, однако, считалась
пропорциональной отношению ди/ду, деленному на д2и/ду2. Таким образом,
интенсивность напряжения является функцией первой и второй производных
средней скорости
л [~- k(d~uldy)* '
\ Р дги/ду2
Если предположить, что напряжение постоянно и равно то, интегрирование
этого уравнения приводит к логарифмическому распределению скорости. Когда
т = т0(1-г/До), получается решение более сложного вида, которое почти так
же хорошо соответствует опытным данным, как и решение простого вида.
277
Феноменологические теории подвергались серьезной критике; возражения
обычно касались различных выводов, относящихся к особенностям структуры
турбулентности. Тем не менее эти теории были удобны, хотя решения,
полученные с их помощью, только грубо приблизительны. Понятия,
используемые в этих теориях, слишком упрощенны, главным образом потому,
что они относят турбулентную структуру в точке к осредненной скорости в
той же точке, а не в некоторой площади влияния. При сравнении простоты
соотношений со сложностью явления вызывает удивление степень их
полезности, а не их недостатки.
79. Измерения, выполненные в потоках со сдвигом. Хотя турбулентность
