Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
Лежандра (71), общий вид решения которого представлен уравнением (72).
Если требуется, чтобы потенциал был конечным на поверхности любого
эллипсоида ?=const, когда р изменяется от -1 до 1, тогда произведение
/Др) G (?)Н(ф) может быть приведено к форме бесконечного ряда таких
членов
Ф = 2 И psn (Р) \сР1 (Q + dQsn (С)] (a* cos sq> + bsn sin sq>), (76)
где, поскольку ?>1, выражения для Psn и Qsn должны быть преобразованы в
следующие:
Так как предельный эллипсоид, соответствующий ?=1, представляет
сегментную линию по оси х от -1 до 1, вдоль которой Qsn (С) делается
бесконечной, принимаем с=1, d = 0 для внутренней задачи и (чтобы избежать
бесконечного потенциала в бесконечности) с = 0, d= 1 для наружной задачи.
Для осесимметричных потоков ф не зависит от ф и в уравнении (76)
проявляются только члены с s = 0.
В качестве примера применения уравнения (76) рассмотрим случай движения
эллипсоида параллельно экваториальной оси, например, оси у. Если а и b
представляют большую и малую полуоси эллипсоида, а е - его
эксцентриситет, тогда из уравнений (74) е = 1 /Со, a -cl,0 и Ь = с(?о -
1)/2. Если V - скорость перемещения эллипсоида в положительном
направлении оси у, граничное условие на эллипсоиде составляет
И (ф) = as cos хф -f bs sin 5ф
n =0 s=0
8*
107
дф
--V
ду_
dt
Vet,о (1 - ц2)'/2 cos ф
(й-l У/г
Приравнивая это выражение производной от ф в уравнении (76) для с = 0 и
d= 1, путем сравнения с множителем при соэф видим, что только члены с 5 =
1 следует сохранить; кроме того, поскольку множитель (1-и2)/г есть 73},
нет необходимости раскрывать (1-р2)'/з в ряд функций Лежандра, как это
обычно делают. Таким образом, получаем
^ Vet, о , (S2o-l)'/2 '
Но
ах
Qi(Q = (S2-D'
dQi_
dt
= y(?2-D,/2
In
S + 1 2g I
? - 1 ?2- 1 J '
Отсюда искомый потенциал составляет ф = ахР\ (n)Q}(S) cos ф =
01
2
(1 -ц2)7* (С2 - I)1'
In
? + 1 ?-1
1
COS 6,
где
сУ
1 . Со-- In ---------
2 ?0-
1
й-2
1
Со(5о-1)
Функции Бесселя. Если принять, что уравнение Лапласа в цилиндрических
координатах
1 дф , 1 д2ф . д2ф
•--------- -J--------- • - -ф
дг2 г дг г* а02 дг2
= О
имеет решения в форме ф = Б(г) G(0)Я(г), получим
F
d2F dr2
+
dF_
dr
r2G
d2G
1
Я
d2H dz2
= 0.
Рассматриваются лишь однозначные решения. Поскольку переменная г
появляется только в четвертом члене, приравнивание ее постоянной k2 дает
решение
Я (г) = Аё
.Аг
Be
-kz
где А и В - постоянные величины. Заменяя четвертый член на k2 и умножая
получающееся уравнение на г2, выделим третий член как функцию только 0,
и, полагая, следовательно, его равным по-
стоянной -sz, находим решение
G (0) = as cos s0
bs sins0.
108
Оставшиеся члены могут быть записаны в виде выражения
? + т'? + (*-т)'-* <77>
которое является дифференциальным уравнением для функций Бесселя. Его
общее решение таково;
F{r) = cJs(kr) + dNs(kr),
где с и d - постоянные, а /" и Ns - функции Бесселя порядка s первого и
второго рода соответственно. Когда s положительное целое число, они
составляют выражение
•м*) =
(х/2)* (лг/2)" (*/2)"
:! 1(5+1)! 2! (s + 2)! 3! (s + 3)!
которое сходится для всех значений х, и выражение
^-Ns(x) = Js (х)
1"i'(1 + T + '' + 7-)+0'577-
/7=1 Л= О
Таким образом, подставляя решения для F(r), G(0) и Я (г) в произведение
FGH и создавая бесконечный ряд таких членов, получим
ОО оо
Ф = 2 ? \ciJs (Л"Г) + rf/ЛЛ. {ksir)\ (as cos S0 + bs sin s6) X
J=1 j=0
X(A V+fle-V), (78)
где можно допустить, что Л + Я=1, а величины kSj определяются граничными
условиями. Эти определяющие kSj граничные условия могут быть записаны в
общей форме:
C1F(a)+C,^- = 0;
dr
С3Е(й) + С4^ = О, (79)
dr
где | С4| + | С21 > 0, | С31 + | С41 > 0, а цилиндры г = а и г = Ъ при
а<Ь являются границами системы. Условия (79) подходят для определения не
только ksi, но и отношения dj/cj. Когда зона жидкости включает линию
г = 0, первое из условий (79) заменяется требованием, чтобы F(0)
была конечной величиной. Это
требование удовлетворяется, если значение bj принять равным нулю.
109
Функции Js(ks}r) + (dj/Cj)Ns(kSjr) ортогональны относительно значения
функции г в интервале а<г< Ь, т. е. ь
f г Us М +^-Ns (ksir) 1 Us (V) + ^NS (ks r)ldr =
J L °i J L 9 J
a
10, если 1ф1; (ад)
{ Csj > 0, если i = /'.
В особых случаях, когда dj = 0 (т. е. когда а = 0), постоянная CSj в
уравнении (80) имеет вид
с"
где штрих обозначает дифференцирование относительно аргумента. Если
значение С4 подобно dj равно нулю, тогда Js(ksjb) = = 0 и
CSj=]/2b2[J's(kSjb)]2. Если значение С3 подобно dj равно нулю, тогда J's
(kSjb) = 0 и
('-tV) п.адг-
Для примера рассмотрим случай вибрирования круглой пластины единичного
радиуса, расположенной в начале координат и перпендикулярной оси г;
окружность пластины ограничена так, что нормальная скорость пластины
дф/dz равна нулю, когда r = 1 и z = 0. Поскольку потенциал конечен, когда
г=0 и когда г= оэ , следует принять dj=A = 0 и тогда В=1 в уравнении (78)
и С4 = 0, а 6=1 в уравнении (79). Следовательно, мгновенный потенциал
