Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
усилие на шар диаметром 1 фут, который прикреплен так, что его центр
находится в 3 футах от конца трубки. Сравнить результаты с точными
величинами, полученными из следующей формулы:
4яМг ро3 = R {R2 - аг)г '
где R -- расстояние от стока до центра шара, а - радиус шара и М -
напряжение стока.
• W7* - здесь объем.
Допустим, что шар может быть заменен диполем, расположенным в его центре,
с напряжением, достаточным для обеспечения шара единичного диаметра
равномерным движением. Тогда
М дф М
-2Д = MUcP-, <6 =----------; U=
R dR R2
diT 2 M
~dR ^ R3 '
Из теоремы Легалли для M = Q/An кубических футов в 1 сек
dU I а3 \ / 2 \ 4яра3 ,
F = - 4ярД = - 4яр --------------------- - = ------------= 6,46-10
фунта .
w dR w\ 2R2 I \RS j R5 4 J
Ошибка в этом решении составляет
Rs а2 (2R2 - а2)
R(R2 - a2)2 ~ _ (R2 - а2)2 Для данных условий ошибка равна примерно 5%.
В. Математическая техника решения задач
34. Разделение переменных. Кроме специальных методов, заключающихся в
нахождении функции потенциала или функции тока, соответствующей данным
граничным условиям, существует несколько способов, основанных на решении
уравнения Лапласа как обычного дифференциального уравнения в частных
производных. Вследствие широкого использования в прикладной математике
это уравнение подвергалось глубокому изучению, в результате чего было
разработано несколько общих методов его решения. Три из них - разделение
переменных, отражение и распределение особенностей - будут рассмотрены в
данном разделе.
Если уравнение Лапласа выражено в символах некоторой ортогональной
системы координат а, (3 и у, общие решения представляют собой
произведение трех функций, каждая из которых зависит только от одного
переменного, т. е. ф(а, р, у) =Е(а) G (|3)Я(у). Ценность решений такого
типа заключается в простоте их формы, а также в том, что они могут
использоваться в ряду для удовлетворения общих граничных условий. Как
видно, эта возможность является свойством ортогональности разделимых
функций, которое будет более подробно описано в следующих пунктах.
Вследствие ортогональности эти функции могут быть использованы в ряду для
представления более или менее произвольных функций; наглядным примером
данной операции является обычный тригонометрический ряд Фурье.
Ряд Фурье. Используя систему декартовых координат, примем решение вида
<f, = X{x)Y{y)Z(z).
Подставляя эту функцию в уравнение Лапласа, получим
d2X , "vd2Y , d2Z
или после деления на ф
JL - о. - - + - • ~ = о
X ' dx2 У dy2 Z dz*
Каждый член этого уравнения зависит от различной независимой переменной
и, следовательно, должен быть постоянной величиной. Если член равен нулю,
соответствующее решение представляет линейную функцию, т. е. Х=ах + $.
Если ни одна из постоянных не равна нулю, решение дифференциальных
уравнений
- - - - т2- - - - - п2-
X dx* ~ Y ' dy2
1 d2z 2 I 2 12
-¦ • ------------= т2 4- nr = г
Z dz2
имеет следующий вид:
Х~ат cos тх + bm sin тх;
Y - сп cos пу + dn sin пу,
Z = Eelz + Fe~lz,
где am, bm, cn, dn, E и F - произвольные постоянные. В соответствии с
первоначально принятым решением получим окончательное решение в виде
произведения
ф = (ат cos тх + bm sin тх) (сп cos пу + dn sin пу) (Eelz + Fe~lz).
Суммы решений вышеуказанного типа являются также решениями, и если
бесконечный ряд однородно сходящийся, общее решение составляет
со со
ф = У] 2 (ai cos mix + sin mtx) X
i-0 /=0
X (C; cos nsy + dj sin nsy) (Eelz + Fe~lz), (64)
где величины и п} определяются граничными условиями, а сумму E + F можно
принять равной единице. Когда z-0, потенциал в уравнении (64), очевидно,
имеет вид двойного ряда Фурье. Если значения потенциала заданы (задача
Дирихле) на плоскости z как ф+}(х, у), где f(x, у) является периодической
функцией с периодами 2я в обоих направлениях х и у, так что и п3- могут
быть взяты как целые числа i и j, раскрытие f(x) в ряд Фурье определяет
значение неустановленных коэффициентов в уравнении (64) и таким образом
дает решение. Эти коэффициенты получаются путем использования
ортогональных отношений для тригонометрических функций:
98
J cos г* sin sxdx = 0, (r,s -целые числа);
о
2ч
{ 0,r=hs или г = s = 0; sin rx sin sxdx = I
{ л, г = s > 0.
о
Так, умножение уравнения (64) на cos ix cos jy при i, />0 и
интегрирование одного члена за другим относительно х и у от 0 до 2п дает
2ч 2ч
J / (х, у) cos ix cos jydxdy.
о о
Аналогичным образом могут быть получены произведения ctidj и bid,,
которые завершат определение выражения для ф в уравнении (64).
Если вместо ряда Фурье используется интеграл Фурье, потенциал может быть
выражен в интегральной форме. Для двухмерного случая, когда ф = ф(х, z),
функция потенциала представляется интегралом, подынтегральное выражение
которого является произведением типа Х(х) Z(z):
оо оо
J (Eekz + Fe~kz) dk j f (g) cos k (g - x) dg. (65)
0 -со
Это сводится к интегралу Фурье для f(x), когда 2 = 0.
Примером вышеизложенной теории можно считать случай двухмерных
