Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
V 1 . д2г "арг"+ dw 1 w ! д2г dh3 у
а2 "ар А3 \ арау ар /. 0
Различные производные второго порядка в полученных равенствах могут быть
оценены следующим образом. Из таблицы направляющих косинусов находим, что
дх
дх
да
= 0.
(300)
(301)
аа
дх ду ду дг дг
ар да ар да ар
Дифференцируя уравнение (300) поочередно по а, р и у и приравнивая
окончательные выражения для точки Р0, получаем
д2х dhi д2х dhi д2х dhi да2 да ' дад$ ар ' даду ду Подобным же образом из
уравнения (301) находим, что
или, подставляя выражение для х :
яр
д2у hi dhi
да2 h2 ар
Дифференцируя уравнение (301) по у, получаем , дЧ , , &у п
/li ^ -|- h2 _ _ - 0.
dpdy
Отсюда по круговой симметрии
д2х д2у
hi , ; = - h2 г-- = ^
д$ду
дуда
дуда
д2г
дс"эр
дЧ
- hi -- =0.
арау
Приведенные выше результаты и результаты, полученные из соображений
симметрии, сведены в табл. 8.
Таблица 8
Производные второго порядка
аа PP yy Py ya ap
dhi ft2 dh2 h3 dhs 0 dhi dhi
X да hi da hi da dy ар
У hi dhi h2 <5(5 dh2 Ур h^ h.2 dhs ap dh2 dy 0
dh2 da
hi dhi h2 dh2 dhs dh3 dhs 0
Лз ду h3 dy dy ap da
Скорости деформации могут теперь быть получены подстановкой значений этих
производных второго порядка в приведенные ранее выражения для а и f, а
также и остальные по симметрии. Таким образом:
Связь между напряжениями и скоростями деформации выражается в форме
уравнений (120), т. е.
Параллельные координаты. Геометрическим местом точек, равноудаленных от
поверхности S, является другая поверхность, касательная к которой,
нормальная к перпендикуляру первой поверхности, параллельна касательной,
нормальной к этому же перпендикуляру и проведенной в плоскости первой
поверхности. Такие две поверхности называются параллельными. Если у
обозначает расстояние вдоль нормали к поверхности $, то уравнение
описывает семейство параллельных поверхностей, в котором начальная
поверхность соответствует у(х, у, г)=0. Линии главной кривизны на S
определяют два семейства кривых, ортогональных друг другу на поверхности
5. Уравнения поверхностей, образованных нормалями к поверхности S вдоль
каждого из этих семейств, имеют вид:
В руководствах по дифференциальной геометрии показывается, что линии
главной кривизны и только эти линии дают образующие поверхности.
Следовательно, три поверхности a = const, р = const и y = const взаимно
ортогональны. Как обычно, элементы дуги в направлении увеличения а и Р
будут обозначаться Aida и A2dp. Так как у - расстояние вдоль нормали, то
А3=1. Таким образом, Hi = h\(a, Р, 0); H2=h2(a, р, 0).
Для получения соотношения между Аь й2 и кривизной поверхностей ki{a, Р,
у) и k2(a, Р, у) примем в качестве главной кривизны поверхностей a =
const и p = const. Далее записываем K\ - k\(a, р, 0), K2=k2(a, Р, 0) и
считаем Кг, Ка главной кривизной заданной поверхности у = 0,
соответствующей направлению возрастания а и р. На рис. 105 (см. ранее)
изображен элемент ABCD поверхности S, где AD и АВ являются дуговыми
элементами #]da и #2dp. Точка О - главный центр кривизны дуги АВ, так что
ОА = ОВ = - 11 Ка> Соответствующим элементом параллельной поверхности
является A'B'C'D', полученный продолжением радиуса от точки О на
расстояние у; т. е. AA' = BB' = CC'=DD' = y. Центрами главной кривизны
образующей поверхности О А'В' являются точки Р и Р'. Тогда PA=PB=}/Ki и
Р'А'-Р'В'= = 1/Дь По условиям подобия очевидно, что точки О, Р и Р'
коллинеарны.
Из условия подобия криволинейных треугольников ОАВ я ОА'В' получаем
= - Р + 2 pa; а? = - р + 2 рЬ; = - р + 2 рс;
у (х, у, г) = const
а{х, у, z)=const и Р(х, у, 2)=const.
1
У + - dQ _ Ка
Н2 ' dp _ _1_
Ка
или
и также
(303)
Затем из треугольников ОРА и ОР'А' находим
k\ = ------------------
1 + КаУ
и также
(304)
383
Далее из треугольников PrAfBT и PrD'CT получаем
~~ h-ida
hz
откуда
k± = А2 ^
h2d$
1
1/Ах
hyh2
1
Axft2
5А2 5а ' Kl НуНг дНг да
dhy К3 ~ НуН2 дНу
5р ; ' др
(305)
На основании уравнений (303), (304) и (305) можно записать:
_L
Ах 5а
_1_ д&!
Ах 5а
: А2Ах : = AjA2 =
= НъКъ ¦¦ HiKi.
(306)
Подставляя величины h\ и А2 из уравнения (303) в уравнение (306), получим
f- + vf *df-+bdf-)
да \ да да '
= ад-
[Я* - +
Л1Я3 \ да да
Ну + НуК зу
Так как правая часть этого уравнения не является функцией у, то
J дН^ 1_
Ну да или из уравнения (305)
5Я2 _ 1 д_К±
да Кз - Ki да
и также i j
НуКу =
я2/са =
Ну
(307)
Дополнительное соотношение, основанное на так называемых соотношениях
дифференциальной геометрии Лямэ, приводится здесь без вывода
(ВД + -Jr (HiKi) + HyH2K3Ki = о. (308)
5а 5р
Теперь могут быть получены выражения для производных hy и А2. Из
уравнения (303) имеем
dhy
~w
или из уравнения (307)
dhy дНу
ж= ip- + YW*'
и также dh ш (309)
_,SS!_r + YW^j
5(5 + Y( 1 5(5 +Кз 5Р /
384
Приведенные результаты могут быть изложены вкратце следующим разом.
Допустим, что уравнение поверхности выражено в параметрической рме через
параметры а, (3 кривых главной кривизны:
х=х(а, Р); у - у (а, Р); z==z(a,p).
