Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
в пограничный слой и постепенно оказывающейся внутри него в пределах
действительности закона стенки, то становится ясно, что постоянство у*
вдоль линии тока может быть достигнуто только асимптотически.
Чтобы применить закон стенки к уравнению (217), достаточно пренебречь
слагаемыми нормальных напряжений и написать результирующее уравнение для
установившегося потока в виде
320
(250)
где т - полное напряжение, равное цди/ду- pu'v', которое у самой стенки
должно также удовлетворять закон подобия
Подстановка равенств (248), (249) и (251) в равенство (250) дает
Так как л: и ?/* могут считаться независимыми переменными, уравнение
(252) будет точным только в случае, если отношения u,u'J{UU') и u^ti'Ju?
постоянны. Однако, как легко доказать решением элементарных
дифференциальных уравнений, полученных из постоянства указанных
отношений, это приводит к соотношениям, которые в общем случае не могут
быть действительны. Единственная интерпретация уравнения (252)
заключается в том, что в пределах действительности закона стенки
составляющая ускорения и,и\ f2 должна иметь малую величину того же
порядка, что и слагаемые, которыми пренебрегли в уравнениях пограничного
слоя, и что dg/dy* должно быть почти постоянно. Указанное условие говорит
о том, что закон стенки действителен до тех пор, пока влияние инерции
пренебрежимо мало по сравнению с влиянием градиента давления и
касательных напряжений, и поэтому f2={yuT/v)2 имеет тот же порядок, что и
величина j U26/(x2ux"') | > которая при постоянстве U выражается как 461
(x2dCT/dx) | . Отсюда находим, что у/6 имеет порядок величины 4/У
Re2xRe&\dC2JdRex | , где Rex=Ux/v и Re6 = Ud/v. Предельное значение у/6
для действительности закона стенки, найденное экспериментально для
плоской пластины при нулевом градиенте давления, равно около 1/7.
Для шероховатой стенки в предыдущий анализ должен быть дополнительно
введен параметр шероховатости. Если шероховатость эквивалентна песчаной
шероховатости с высотой выступа к, то закон стенки приобретает такой вид:
91. Распределение средней скорости на некотором расстоянии от стенки.
Плодотворность гипотезы о подобии эпюр скоростей в ламинарных пограничных
слоях указывает на желательность соответствующей гипотезы для
турбулентных потоков. Теория
* = т0 g(y*)-
(251)
(253)
21-1459
321
подобия Кармана подтверждает подобие эпюр скоростей в трубах и каналах,
причем выражение его может быть записано через радиус трубы в виде
и -и
(254)
и названо внешним законом, или законом дефицита скорости. Справедливость
этого закона распространяется на такое расстояние от стенки, на котором
напряжения Рейнольдса превосходят вязкие напряжения. Закон исходит из
предположения, что в этом слое распределение скорости относительно
скорости в центре трубы, за исключением начальной скорости во внутренней
точке слоя, не зависит от вязкости. Так как в соответствии с законом
стенки этот внутренний скоростной предел непосредственно зависит от
касательного напряжения у стенки, приходится допустить, что разность U-и
зависит только от у, г, то и р, откуда с помощью анализа размерностей
может быть получено уравнение
Опытным путем установлено, что эпюры скоростей во внешней части
двухмерного или осесимметричного турбулентного пограничного слоя образуют
приблизительно однопараметрическое семейство, представляемое в виде
где Н - профилирующий параметр, равный 61/62. Как и для турбулентных
потоков в трубах, внешний закон здесь считается действительным на тех
расстояниях от стенки, где напряжения Рейнольдса превосходят вязкие
напряжения.
Закон дефицита скорости пограничного слоя, выраженный уравнением (255), -
эмпирический закон, общепризнанный за хорошее совпадение эпюр скоростей в
узком диапазоне чисел Рейнольдса, полученных в лабораториях. Таусенд
указывал, что характеристики турбулентного потока во внешней части
пограничного слоя медленно реагируют на изменение условий у стенки, так
что эпюра средней скорости на некотором участке зависит от предыстории
потока. Соответственно Таусенд предположил, что закон дефицита скорости
может быть усовершенствован при учете зависимости эпюры скоростей от
касательного напряжения у стенки на некотором участке выше по течению, т.
е.
где ич - значение выше по течению при х-х\.
Для использования предложения Таусенда необходимо сделать дополнительное
допущение, касающееся связи между и_ и
(254).
(255)
(256)
322
и , а именно, что их отношение - функция местных значений о= U/uT и Я:
uTt = uTg (а, Я), (257)
где g - некоторая функция. Преобразованный таким образом закон дефицита
скорости записывается в виде:
U-
- = g{o,H)F(4,H).
(258)
92. Наложение внешнего и внутреннего законов. Анализ эпюр средних
скоростей в турбулентных пограничных слоях показывает, что существует
такая область на каком-то расстоянии от стенки (рис. 111), в которой
действительны как закон стенки, так и закон дефицита скорости. В самом
деле, уже допущение возможности этого наложения двух законов достаточно
