Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
Калибровочные симметрии, конструкция Янга - Миллса 209
ставление с полуцелым спином). Если N - 2п + 1, п = 1,2, . . . , то
группа SO(N) имеет только одно действительное фундаментальное спинор-ное
представление размерности 2п\ например, группа SO(3) имеет действительное
двумерное представлен(r), S 0(5) - действительное четырехмерное спинорное
представление и т.д., и из этих представлений могут быть построены все
остальные. Если N = 2п, п = 2, $ 6 ..., то группа S 0(N) имеет два
действительных и неэквивалентных фундаментальных спинорных представления
размерностью 2" ~ 1'каждое. Наконец, при /V = 2п, п = 3, 5, . . . ,
группа SO(N) имеет два фундаментальных комплексных сопряженных друг другу
спинорных представления. Например, группа S0(6) имеет сопряженные
представления 4 и 4 и т.д. Все представления могут быть построены из
описанных спинорных представлений, так что они в этом смысле более
фундаментальны, чем векторное представление.
Рассмотрим теперь кинетический член для N двухкомпонентных спинорных
полей
где а пробегает значения от 1 до N и производится суммирование по а . Мы
видели, что в случае а = 1 выражение (1.27) инвариантно относительно
фазового преобразования. При а > 1 лангранжиан инвариантен относительно
гораздо более широкой симметрии. Рассмотрим (опустив индекс а)
преобразование
Из унитарности матрицы V следует, что ее можно выразить через эрмитову N
х N-матрицу Н в виде
(1.27)
VL - UyL,
где V - матрица N х N; тогда
(1.28)
t t t 4>L - 4>LV -
(1.29)
Ясно, что если матрица U не зависит от х и унитарна, т.е. UU1 = U1 U = 1,
(130)
то лагранжиан инвариантен по отношению к преобразованию (1.28).
U = еш; Я = .
(1.31)
210
Глава 6
Эта эрмитова матрица Н зависит от N 2 действительных параметров. Заметим,
что взяв матрицу Н пропорциональной едицичной матрице, мы вернемся к
рассмотренной ранее фазовой инвариантности. Следовательно, дополнительные
новые преобразования порождаются бессле-довой частью матрицы Н,
выражающейся через N2 - 1 действительных параметров в виде
N2 - 1
Н = 2 соАТЛ, ТА ' _ гА А - 1
А т* А л *1
ТА = Тл, (1.32)
где со4 - действительные параметры, а Тл - эрмитовы V х .V = матрицы с
нулевым следом. Эти матрицы порождают унитарную группу SU(N) в N
измерениях и удовлетворяют соответствующим перестановочным соотношениям
алгебры Ли
[ТА, Тв] = ifABCTc, (1.33)
где fABC- действительные полностью антисимметричные коэффициенты,
называемые структурными константами алгебры [это соотношение похоже на
(1.24), но содержит другие коэффициенты /]. Приведем некоторые знаменитые
примеры: /V = 2: ТА = 14а А, иА - спиновые матрицы Паули, А = 1, 2, 3; N
= 3: Тл = УгЪ.А, Кл - матрицы Гелл-Манна, А = 1,
, . . . , 8. Матрицы Гелл-Манна удовлетворяют условию нормировки
SP(A^AB) = 26ЛВ (1.34)
и имеют следующий вид:
/° 1
п= 1 0 0 , V 0 0 0/
л2
Таким образом, в группе SU(N) имеются следующие фундаментальные
Калибровочные симметрии, конструкция Янга - Миллса 211
представления:
у означает, что 5>р = гоИт^у, (1.36)
у jy 03начает" что Sy* = -iaATA*yj', (1.37)
где последнее свойство преобразования получено из требования, чтобы
произведение было инвариантом. Тензорная структура в группе SU(N) проще,
чем в группе SO{N): сопоставим нижний (верхний) индекс а величине,
преобразующей по представлению N(N) группы SU{N): сра ~ V, V.
Рассматривая эти представления как строительные блоки, можно путем
образования тензорных произведений получить все представления группы
SU(N). Одним из интересных представлений является присоединенное
представление М° , где М - бесследог . я эрмитова матрица, содержащая N2
- 1 - элементов; как указывают индексы, она построена как произведение
представлений N и N:
N х N = (N2 - 1) + 1. Удобно записать это представление как матрицу М,
преобразующуюся по правилу
M-1/MC/t, или SM = iaA[TA, М]. (1.38), (1.39)
Можно также рассматривать присоединенное представление как {Ы2- 1)-мерный
действительный вектор, и ц этом случае матрицы представления Тл будут (N2
-1) (/V 2 - 1)-мерными.
Другие типы представлений можно построить в виде тензоров с произвольным
числом верхних и нижних индексов. Чтобы образовать синглеты, можно
свертывать верхние индексы с нижними, но не пару верхних или нижних
индексов. Так, например, представление Ть можно разложить на неприводимые
компоненты просто по симметрии относительно индексов аЬ: на симметричные
и антисимметричные. Так, в группе SU(5)
Ь ^(ab) + ab\ •
5 х 5 = 15 + 10.
Здесь круглые скобки означают полную симметрию, а квадратные - полную
антисимметрию по индексам.
Рассмотрев кинетические члены фермионных и скалярных полей, мы убедились,
что можно построить лагранжианы, инвариантные относительно унитарных и
ортогональных преобразований. С помощью
212
Глава 6
кинетического члена оказывается возможным получить и инвариантность
относительно симплектической группы. Заметим, что кинетический член
грассманова майорановского поля, взятый в форме
