Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
--------: для грассмановой линии,
: для линии бозонного поля,
где поле А изображается волнистой линией, В такой теории пропагатор поля
А будет иметь поправки, связанные с диаграммами "поляриеации
вакуума" + ^лл/ , вклады которых,
согласно приведенным фейнмановским правилам, совершенно одинаков вы с Но
эти диаграммы не должны изменять пропагатор А, поскольку мы, начав с W =
1, знаем, что теория должна быть тривиальной! Сле^ довательно, при
сложении эти две диаграммы должны взаимно уничто" жаться: грассманова
петля должна приобрести знак, обратный знаку бозонной петли.
Итак, где бы не встречались грассмановы (спинорные) поля, согласно
фейнмановским правилам, нужно умножать диаграмму с п разными фермионными
петлями на (- 1)л. Можно объяснить это правило тем, что разрезанная
фермиовная петля в соответствии с обобщенной ферми-статистикой должна
быть антисимметричной относительно перестановки ее хвостов, так как в
силу условия унитарности такая петля связана с физической амплитудой.
В заключение заметим, что юкавская связь допускает перекорми^ руемые
самодействия среди скалярных полей (см, задачу).
Задачи
А. Найдите размерности, при которых существуют перенормируем мые
теории, содержащие фермионы.
Б, Задан лагранжиан
^ = Ч'о (у ¦ irn) То к if'Yd <рТд -к -L- dfl + - т2 <р2 ;
2 2
1) выведите фейнмановские правила; 2) найдите на однопетлевом уровне
зависимость юкавскойконстанты связи от масштаба; 3) иссле^ дуйте
перенормируемость лагранжиана; в частности, проанализируйте
196
Глава 5
все однопетлевые диаграммы и исследуйте структуру требуемых контр-
членов., Является ли лагранжиан в такой форме перенормируемым? Если нет,
исправьте его.
§ 4. Вычисление и масштабное преобразование фермионных детерминантов
Начнем с производящего функционала в евклидовом пространстве для теории,
описывающей взаимодействие скалярного поля с четырехкомпонентным
спинорным полем
WE'^\ ?. / ] = e~zE = /2>Ф El;
(4.1)
где 5 = fd*x[ - <ЭиФ + _L mV + - Ф4 -
2 ц 2 4!
- J^ + ^Ud + im. (4.2)
Спинорные поля входят в это выражение квадратично и поэтому могут быть
функционально проинтегрированы. В результате приходим к выражению (S Е [
/ ] дается формулой (4,5) из гл. 3)
> ? > ? ^ =/|(r)Ф е ^ det (3,+ :i/ + i/ф) х
х e<'lUd' + -im' + ifфгЧ>,
где после дополнения до полного квадрата мы использовали формулу
(1.31). Можно переписать его в виде
if -*j- )-*> -SE[f, /). A , ,
Wg=-e 0J J Д,ф e det i-ify),
' (4 4)
Это очень хорошая формула, позволяющая вычислять WE по теории возмущений,
В данном параграфе мы сосредоточимся на вычислении WE методом перевала
Для начала разложим SE вблизи классической полевой конфигурации ф0, Т0,
. Функциональное разложение имеет
вид
Интеграл по траекториям при наличии фермионов
197
. 62S + 62S
+ 1о П2>1'2 + <n * ~Г" 1*Ра>1. 2 + -1
S<fl 5^2 gmt бф
1 2
(4=5)
где р = Т -Т0, р = ф -Фо.
Как и в гл. 3, § 4,мы проводим разложение вблизи тех полевых
конфигураций, которые оставляют действие стационарным, т.е. удовлетворяют
классическим уравнениям движения:
55 л
- |0. = (д + im + г/ф0) %> ~ *? = (4 6)
буТ
SS
|o.= 4.t (-^K*m'+l79o)-i?t = 0, (4,7)
,0 = (-а? +¦ т2 + ф2)ф0 + ,74>t и, _ / = 0. (4.8)
5Ф ,и 3! ото
Отбрасывая эти линейные члены, мы получаем приближенное выражение для SE,
которое квадратично по отклонениям полей от их стационарных значений. В
явной форме
SE " SE lo- + <TI^ @ + im" + ^/Фо) 0> + <р(-д? + т2+ - ф*
)р> +
2 2
+ if < р^ рФ 0 > + if рГ)> . (4.9)
Так как мы хотим функционально проинтегрировать по р, р^ и р, то
дополняем это выражение до полных квадратов, получая
$Е ~ ^?lo + <0 ^(d,+ im + ify0)r\'> + - <р [ - д2 + т2 +
+ -- ф2 + 2f2Tt0 0 + im + i/>0) 1Т0]Р>, (4.10)
А
где р* = р -I- if (д + im' -н:i/"ф0)-1 рТ" , (4.11)
Кроме того, в данном приближении
(r)Ф = Юр = 3)р', 2>ф = (r)р, (4.12), (4.13)
поскольку якобиан преобразования равен 1. Это позволяет выполнить
функциональное интегрирование: выражения (4.10), пользуясь формула-
198
Глава 5
ми приложения А и § 1 этой главы. В результате имеем
WE = е det (<? 'irn + ifq>0) [Set (-д ? + m2 4- JL. q>2
2
+ 2/V (61+ :im' у :i/9o)-1 Ч^0) ]_;/з (4Л4)
где обратный оператор во втором детерминанте действует как на Т0, так и
через ipQ1
Так же как и в приближении метода перевала для скалярной теории поля,
действие SE\ 0j рассматриваемое как функционал от источников J, ( и ? ^ ,
порождает все древесные диаграммы, тогда как детерминанты дают
однопетлевые вклады, имеющие первый порядок по h.
Выполним функциональное преобразование Лежандра между источниками ! , ? и
? ' и новыми классическими источниками
6Zg SSp
ФклЫ = ~777Т " _ к777~ +0(П)' (4Л5)
б/ (ж) 5J (х)
кп
X) = •-
бzE 6SE
+ 0(П) (4 16)
ЧЧх) 5^ (х)
и введем эффективное действие
Г?[фкп. ^кл. ZEU, ?, ^]-</<Ркл>
(417)
порождающее одаочастачно>неприводцмые функции Грина. В классическом
приближении это не что иное, как классическое действие с классическими
источниками (4Л5) и (4Л6), играющими роль полей:
