Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
переменных Q, Р, не зависящих от времени. В этом случае знание уравнений
преобразования
q~ q(Q, Р, t), р= p(Q, Р, t) эквивалентно решению динамической задачи,
поскольку Q и Р являются константами, которые можно определить из
начальных условий. Было бы неплохо узнать, чем порождается такое
преобразование. Так
Функционал действия в квантовой механике
65
как мы требуем равенства
dg_ = j_p_ _ 0j
(1.24)
dt dt
новый гамильтониан не зависит от Q и Р" Он может быть трлько кон"
стантой, зависящей или не зависящей от времени. Для простоты положим Я
равным нулю. Тогда, приняв за независимые переменные q и Q, получим, что
выражение (1.13) будет иметь вид
где S(q, Q = const, t) - производящая функция. Мы пришли к уравнению
Гамильтона - Якоби, решением которого является функция S(oHa называется
главной функцией Гамильтона). Из формулы (1.12) имеем
и обращение этого выражения дает q как функцию переменных Q, Р и t, а тем
самым решена динамическая задача.
Далее, производная по времени функции S
есть не что иное, как дапранжиан. В результате интегрирования полу" чаем
и обнаруживаем, что S есть действие, рассматриваемое как функция
переменных q(t) и q(tQ ) - Q в случае, когда решение задачи уже
подставлено в L и проведено интегрирование по времени. Таким образом, мы
приходим к основному результату: действие есть производящая функция
канонического преобразования, т.е. преобразования пере" менных,
описывающих систему, от одного момента времени к другому. Посмотрим, как
интерпретировать этот результат в рамках квантовой механики.
Перейдем к квантовому описанию системы с одной степенью свободы в одном
измерении. Рассматривая операторы q и р (операторы будем помечать шляпкой
" А "), удовлетворяющие фундаментальным
(1.25)
(1.26)
dt дt д q dt dt
И- =JS_ p> t) + ph- (1.27), (1.28)
S = f * L dt' *0
(1.29)
перестановочным соотношениям
66
Глава 2
[&?]=[ ft р] = Oi [&p]=ift, ('1.30)
где t - постоянная Планка, состояния системы в данный момент вре-мени
можно взять как состояния | q > |, отвечающие заданному положению и
удовлетворяющие соотношениям
q > = q I q> , < q ] q ' > = 5 (q -q'
), $dq\q><q\=\.
(1.31) -(1.33)
(Здесь q - обычное число или функция, но не оператор!) В квантовой
механике определяется каноническое преобразование между операторами (ЪР)
и ($,$) как такое преобразование, которое не изменяет форму
фундаментальных перестановочных соотношений (1.30). Тогда система будет
описываться состояниями ] Q > , обладающими теми же свойствами, что и
состояния | <? > (конечно, с заменой 5 на ()).
Следуя Дираку, сосред^ точим внимание на "смешанном" матричном элементе <
q | Q >. Исходя из формулы (1.31),,легко получить, что
<q\q\Qy=q<q\Q>, или, эквивалентно,
<9| <21 Q> = Q < q\ <?>. ( 1.34), (1.35)
•э
Кроме того, так как р | q> = -ift -Д- | q> , (1.36)
dq
мы имеем
< ? I р I <2 > = - < ч \ Q> >< q\ = ч I*?5*
dq <э<?
( 1.37), (1.38)
Но операторы Q и q не обязаны коммутировать между собой, так что соб
ственное значение произвольного оператора F {q, Q) в смешанном пред
ставлении может и не быть хорошо определенным, пока не наложены
дополнительные условия на форму оператора F. Например, из .соотношений
(1.34) и (1.35) явствует, что
< 9\ fi (q)f2 (Q) \Q> = fl(q)f2(Q)< 4 I <?>• (1-39)
Поэтому мы будем рассматривать только "хорошо упорядоченные" функции, для
которых
<я\ F (q,Q)\ Q> = F(q,Q)< q\Q>, (1.40)
Функционал действия в квантовой механике
67
(Хорошее упорядочение означает, что эти функции представимы в в и" де
произведения функции оператора q на функцию оператора Q " ) Тогда, если
мы положим (с дираковской способностью предвидеть!)
< 9| Q> = e-(i/h)G(q. Q)f (1.41)
где G - функция переменных q и Q, то уравнения (1.37) и (1.38) примут вид
< g\t\ Q> = -^-<q\Q>, <q \ p\Q> = -~r < я\Q>>
dq оЦ
(1.42), (1.43)
Затем, если предположить, что dG/dq и dG/dQ -"хорошо упорядоченные"
функции в смысле определения (1.40), то последние уравнения могут стать
уже уравнениями для операторов
?=_!?.. (1.44)
с) q dQ
Итак, мы видим, что определенная соотношением (1.41) функция G есть
квантовый эквивалент производящей функции. Дирак назвал ее "аналогичной"
производящей функции [ 1,2].
Задачи
A. Покажите, что скобки Пуассона инвариантны относительно канонического
преобразования.
Б, Рассмотрите бесконечно малое каноническое преобразование
6 f = i f, * a Fa ! >
где ел - параметры преобразования, a Fa - генераторы. Покажите, что
операция [ 64,S] f сама есть каноническое преобразование. Индексы здесь
отвечают двум различным параметрам е и е 2а. Что является генератором
этого канонического преобразования? Удовлетворяют ли канонические
преобразования групповым аксиомам?
B. Рассмотрите систему с координатами qi и импульсами р - ,
i = 1, 2, 3. Найдите генераторы бесконечно малых вращений и проверьте
результаты задачи Б.
§ 2. Фейнмановский интеграл по траекториям
Дцлее Дирак попытался применить эту аналогию к главной функции
Гамильтона, в которой q= q' в момент времени t и Q = q в момент времени
