Теория поля. Современный вводный курс - Рамон П.
Скачать (прямая ссылка):
суперсимметричные параметры - спиноры, генераторы суперсимметрии
преобразуются как спиноры. Поэтому нужно расширить группу Пуанкаре,
включив в нее генераторы суперсимметрии (см. задачу). У полей F и G нет
кинетических членов в действии; они служат лишь вспомогательными полями и
в свободной теории полностью отделены от других полей.
Красота преобразований суперсимметрии (8.30) заключается в возможности их
обобщения на теории с взаимодействием. Например, можно ввести
суперсимметричную юкавскую связь, сохраняющую глобальную киральную
инвариантность,
[5].
?ЮкаВа=1'А(Х^ -iXy5XFfF(P2-S2) -2GSP)
(8.31)
или
$-lZ' = ih'faP+ibr.xS ь G(S>-P*)-2FSP).
Юкава д
(8.32)
Можно выписать и массовые члены
1
SF - PC).
(8.33)
т
а
а
Последнее выражение позволяет обнаружить одну важную и фатальную)
особенность суперсимметричных теорий. Рассмотрим урав-
Функционал действия
59
нения движения для лагранжиана Весса - Зумино с массой. Эти уравнения
имеют вид
Зх-*-?-х. Db - F, аР = Л- G, (8.34) - (8.36)
2 2а 2 а
О = 0 = -G + -^- Р. (8.37), (8.38)
а 2 2а ai 2а
Без особого труда можно, решив последние два уравнения относительно F и
G, выразить их через 5 и Р и подставить полученные выражения в уравнения
(8.35) и (8.36) для S и Р. Тогда они примут вид
? 5 =--2- S, пР = -- Р. (8.39)
4 4
Следовательно все три поля х, S и Р имеют одинаковую массу. Таково общее
свойство суперсимметрии: все поля, входящие в супермуль-типлет,, имеют
одну и ту же массу. Это объясняется тем, что массовый оператор Рм Рм
коммутирует со всеми генераторами суперсимметрии. Отсюда немедленно
вытекает, что в природе не может быть точной суперсимметрии, поскольку у
частиц с разными спинами нет вырождения по массе.
Проделанные простые вычисления показывают, какова роль вспомогательных
полей в том случае, когда могут быть решены уравнения движения.
Проиллюстрируем теперь роль вспомогательных попей, не обращаясь к
уравнениям движения, с помощью следующей примитивной модели. Пусть р(х) -
некое скалярное поле, а А(х) - некое вспомогательное поле. Возьмем
лагранжиан в виде
? ".- $ ф<?мф -к- А2 + Эф2. (8.40)
2 2
Пополнив это выражение до полного квадрата, получим
? = -1- + ~ (А у ф2 )2-1- ф4. (8.41)
Определив новое, теперь уже невзаимодействующее вспомогательное поле А4 =
А у-<р2, мы придем к лагранжиану взаимодействия(1/2)<Эц<рс^<р -(l/2)q>4.
Мы рассмотрели простейший пример суперсимметричной теории в 4 измерениях.
В настоящее время суперсимметрия - это чисто "теоретическая симметрия",
не имеющея никакой экспериментальной поддержки. Но мы думаем, что было
небесполезно обратить внимание читателя на существование нетривиальных
симметрий между полями с разными спинами.
60
Глава 1
Задачи
A. Докажите свойства майорановского переворота.
Б. Пользуясь тождествами для у-матриц, убедитесь в справедливости
разложения Фирца (8.17).
B. Проверьте киральную инвариантность действия Sjz и найдите, как
действуют киральные преобразования на поля.
Г. Покажите, что интеграл Д (i /2) ху5 х f (Va) SG - (1/a)PF)]x < dix
инвариантен относительно преобразований суперсимметрии.
*Д. Введите майорановские спинорные генераторы суперсимметрии Q, записав
конечное преобразование суперсимметрии в виде e'aQ. Выведите выражения
для антикоммутатора двух генераторов Q и для коммутатора Q с генераторами
группы Пуанкаре. Получившаяся алгебра, включаю' щая как коммутаторы, так
и антикоммутаторы, образует градуированную алгебру Ли (супералгебру).
Покажите, что,как следствие этого, генератор Q коммутирует с массой.
*Е. Найдите изменение координаты при преобразованиях суперсимметрии и
убедитесь, что д - инвариант относительно этих преобразований.
**Ж. На основании теоремы Нетер выведите выражение для сохраняющегося
суперсимметричного тока. Здесь нужна осторожность, так как при
суперсимметричном изменении к добавляется полная дивергенция.
ЛИТЕРАТУРА
1. Bargmynn VVigner EiP., Proc. Nat. Acad. Sci. (USA), vol. 34, №5, 211
(1946).
2. Dirac P.A.M., Rev. Mod, Phys., 21, 392 (1949).
3. GurseyF., Ann. of Phys., 24, 211 (1963).
4. Coleman S., Jackiw R., Ann. of Phys., 67, 552 (1971).
5. Jf'ess /., Zumino B., Nucl. Phys., B78, 1 (1974).
Глава 2
Функционал действия в квантовой механике: фейнмановский интеграл по
траекториям
В предыдущей главе мы занимались построением функционалов действия,
которые порождают (классические) теории, согласующиеся с постулатами
специальной теории относительности. Эта глава посвящена использованию ФД
в квантовой теории. Для простоты и ясности мы сначала остановимся на роли
действия в квантовой механике, а в следующей главе перейдем к квантовой
теории поля.
Первыми осознали роль действия в квантовой механике Дирак и Фейнман.
Дирак искал такую формулировку квантовой механики, в которой время и
пространственные переменные рассматривались бы сходным образом. Напомню,
что в обычной формулировке квантовой механики задается квантовая система,
находящаяся в начальный момент времени в определенном состоянии, одном из
