Последние работы - Пуанкаре А.
ISBN 5-93972-038-2
Скачать (прямая ссылка):
точки М[ и М2 секущей. Касательная и секущая пересекаются в точке,
лежащей на кривой С'. Точно так же я могу провести через точку М" = М2
касательную к кривой С" и продолжить ее до пересечения с секущей N{'N2 .
Точка пересечения лежит на кривой С".
Эти немногочисленные примеры позволяют понять, сколь многочисленны
различные частные случаи.
Доклад пятый О трансфинитных числах
Господа! Сегодня мой доклад посвящен понятию трансфинитного кардинального
числа, и прежде всего я хочу поговорить об одном кажущемся противоречии,
которое якобы содержит это понятие. Но прежде чем начать, я хотел бы
сделать следующее предварительное замечание: по моему мнению, предмет
мыслим только тогда, когда его можно определить конечным число слов.
Предмет, определимый конечным числом слов, я буду для краткости называть
просто определимым. С этой точки зрения неопределимый предмет немыслим.
Аналогично, я буду называть закономерность высказываемой, если ее можно
высказать за конечное число слов.
Г-н Ришар доказал, что множество определимых предметов счетно, т. е.
кардинальное число этого множества есть К0- Доказательство совсем просто:
пусть а - число слов в словаре, тогда п словами можно определить самое
большее ап предметов. Если теперь разрешить п неограниченно возрастать,
то, как нетрудно видеть, даже в этом случае невозможно выйти за пределы
счетного множества. Следовательно, мощность множества мыслимых предметов
была бы равна Ко- Г-н Шен-флис возразил против этого доказательства,
заметив, что с помощью одного-единственного определения можно задать
несколько, даже бесконечно много предметов. В качестве примера он
приводит определение функций-констант, которых, очевидно, бесконечно
много. Такое возражение неприемлемо потому, что определения этого типа
задают не отдельные предметы, а их совокупность, в нашем примере -
множество функций-констант, и это множество представляет собой один-
единст-венный предмет. Итак, выдвинутое г-ном Шенфлисом возражение не-
обосновано.
Как известно, Кантор доказал, что континуум не счетно-бесконечен; это
противоречит доказательству Ришара. Возникает вопрос: какое из двух
доказательств верно. Я утверждаю, что оба доказательства верны и что
противоречие, о котором идет речь, лишь кажущееся. Для
190
Доклад пятый
обоснования этого утверждения я приведу новое доказательство теоремы
Кантора. Таким образом, предположим, что задан отрезок АВ и правило, по
которому каждой точке этого отрезка поставлено в соответствие целое
число. Для простоты условимся обозначать точки соответствующими им целыми
числами. Разделим наш отрезок двумя произвольно выбранными точками А± и
А2 на три части, которые назовем подотрезками первой ступени; каждую из
этих частей в свою очередь разделим на три части и получим подотрезки
второй ступени; мысленно представим себе этот процесс продолженным до
бесконечности, причем длины подотрезков у каждой границы должны
уменьшаться. Точка 1 принадлежит одной или, самое большее (когда точка 1
совпадает с точкой А\ или точкой А2) двум подотрезкам первой ступени, и,
следовательно, заведомо существует один подотрезок первой ступени,
которому точка 1 не принадлежит. На этом отрезке найдем точку с
наименьшим номером, которых должно быть по меньшей мере две. Среди трех
подотрезков второй ступени, принадлежащих тому отрезку первой ступени, на
котором мы находимся, снова найдется по крайней мере один, к которому не
принадлежит последняя из рассмотренных нами точек. Продолжив наш метод на
этом отрезке, мы получим в итоге последовательность отрезков, обладающих
следующими свойствами: каждый из них содержится во всех предыдущих
отрезках, и один из отрезков n-ой ступени не содержит ни одну из точек с
номерами от 1 до п - 1. Из первого свойства следует, что должна
существовать по крайней мере одна точка, общая для всех отрезков; тогда
как из второго свойства следует, что номер этой точки должен быть больше
любого конечного числа, т. е. этой точке невозможно поставить в
соответствие ни одно из чисел.
Из какого предположения мы исходили в этом примере? Мы приняли
предположение о правиле, по которому каждой точке отрезка поставлено в
соответствие некоторое целое число. Затем нам удалось определить точку,
которой не соответствует никакое число. В этом отношении приведенные выше
различные доказательства теоремы не отличаются. Но прежде всего
необходимо установить правило. По Ришару, такое правило, по-видимому,
существует, но Кантор доказал противоположное. Можно ли найти выход из
создавшейся дилеммы? Проанализируем, как надлежит понимать слово
"определимый". Мы берем перечень всех конечных утверждений и вычеркиваем
из него все утверждения, которые не определяют никакой точки. Оставшиеся
утверждения мы
О трансфинитных числах
191
поставим в соответствие целым числам. Если теперь мы снова просмотрим наш
перечень, то в общем случае можно показать, что некоторые из ранее
вычеркнутых утверждений теперь придется оставить. Действительно,
