Последние работы - Пуанкаре А.
ISBN 5-93972-038-2
Скачать (прямая ссылка):
решения, разделяя комплексные на действительные и мнимые части.
Действительная часть от и> дает период колебания, а мнимая - затухание.
Из нашего представления решений следует, что
это позволяет записать F и ф в виде запаздывающих потенциалов следующим
образом:
где dr' - пространственный элемент в (ж', у', ^-пространстве; у! и р' -
значения р и р в точке (ж', у', z'); г - расстояние между точками ж', у',
z' и (ж, у, z).
В большинстве задач встречаются две различные среды - свободный эфир и
проводящее тело; относительно последнего мы предполагаем, что оно ведет
себя как идеальный проводник, что внутри него поле равно нулю,
электрические силовые линии нормальны к его поверхности, а магнитные
силовые линии попадают внутрь тела; то, что заряд и ток отличны от нуля
только на поверхности проводника, мы учтем тем, что модифицируем
приведенные выше выражения для F и ф, заменив интеграл по объему
интегралом по поверхности. Для этого запишем
где р" и р" теперь означают поверхностные плотности заряда и тока, a da'
- элемент поверхности.
Обычно мы различаем два проводящих тела; одно мы условимся называть
внешним, а другое внутренним проводником; эти проводники
е
172
Доклад третий
порождают, соответственно, внешнее и внутреннее поле; внешнее поле
задано, внутреннее требуется найти. Например, когда мы рассматриваем
проблему приема электрических волн, передатчик служит внешним
проводником, приемник - внутренним проводником; в задаче о дифракции
электрических волн возбудитель выполняет роль внешнего проводника, а
земной шар - роль внутреннего проводника; в задаче о возбуждении
колебаний нет никакого внешнего поля, в этом случае возбудитель следует
рассматривать как внутренний проводник.
Чтобы свести задачу к интегральному уравнению, условимся понимать под
введенными выше функциями только такие, которые относятся к неизвестным
внутренним полям, чтобы, например, выписанные выше интегралы
распространялись только по поверхности внутреннего проводника; если мы
примем во внимание, что в силу принятого выше предположения внутренние
нормальные компоненты вектора электрического поля должны обращаться в
нуль на внутреннем проводнике, то, обозначив через I, т и п направляющие
косинусы нормали, мы получим из наших исходных уравнений
где N - нормальная компонента внешнего поля, т. е. известная функция.
Если мы обозначим теперь поверхностную плотность вместо р" через р", то
вследствие выражения для ф получим
Воспользовавшись далее нашим выражением для F и соответствующими
выражениями G и Н, мы приходим к соотношению
Это выражение в некоторых случаях, интегрируя по частям, можно
преобразовать к виду
4тг/ = ^ + iuj{lF + mG + пН) = N, on
Применение интегральных уравнений к волнам Герца
173
где L - известная функция. В итоге мы получаем
2Т'' + I < ?1 е
- iuL
| da'
= N,
а это - интегральное уравнение второго рода для pi, которое требовалось
найти. В самом общем случае мы приходим к двум интегральным уравнениям с
двумя неизвестными, которыми могут быть, например,
ии г/, где величина и определена выше; мы полагаем v = где -
ап ап
производная в направлении нормали, N - нормальная компонента магнитной
силы.
Функцию L можно образовать особенно просто, если внутренний проводник
имеет форму тела вращения, а внешнее поле обладает вращательной
симметрией (рис. 3). Если s и s' - длины дуг, измеренные от конца оси
вращения вдоль меридиана до точек Р и Р', $ - угол между нормалью в точке
Р и касательной к меридиану в точке Р', то L как функция от $, s и s'
определяется дифференциальным уравнением
дЬ
ds'
Рис. 3
cos$.
Как следует из изложенного выше, проблема приема электрических волн
сводится к интегральному уравнению второго рода.
Если мы хотим рассмотреть только проблему возбуждения электрических волн,
то внешнее поле следует положить равным нулю, то есть N = 0, и мы
получаем однородное интегральное уравнение; входящую в них величину и> не
следует более интерпретировать как значение произвольного параметра, а
как число, которое требуется найти и которое играет роль собственного
значения.
Я записываю наше интегральное уравнение в виде
J Кpi' da'
= N
с ядром К\ ввожу неопределенный параметр Л и рассматриваю общее уравнение
27xpi + A J К pi' da' = N.
174
Доклад третий
Первый член зависит от двух неопределенных параметров Л и у. Если
воспользоваться обычным методом Фредгольма, то решение нашего
приведенного выше интегрального уравнения получается в виде меро-
морфной функции от Л, числитель которой - целая функция от Л. Можно
показать, что этот числитель является к тому же целой функцией от ш,
такой, чтобы выделенные нами значения и> были нулями целой
трансцендентной функции.
Рассмотрим теперь подробнее более общую задачу о дифракции.
Предположим для этого, что внутренний проводник имеет форму шара (земного
шара) радиуса р и что внешнее поле (нормальную компоненту которого мы
обозначим через N) создается точечным возбудителем S, расстояние D до
