Основы метрологии: практикум по метрологии и измерениям - Пронкин Н.С.
ISBN 978-5-98704-267-4
Скачать (прямая ссылка):
Л±х* + В±х1У1+С±хЛ=±хА,
/=1 /=1 /=1 /=1
_ п _ п п
А Z У,х, + B^yf+CZ yiZi = E (7.9)
/=1 /=і /=і (=i
/=1 /=і /=і /=і
Для упрощения записи системы нормальных уравнений часто используют обозначения Гаусса
п п п п
2>2 = [хх], YAxiyi = [ху] = [ух] = ^y1Xn ]>>,/,• = M и т-д- (7Л°)
/=1 /=1 /=1 /=1
В обозначениях Гаусса нормальные уравнения будут иметь более удобный вид
[хх]А + [ху]В + [xz]C = [х/],
[лу]Л + + [yz]C = [yl], (7.11)
[хг]Л + [уг]А + [гг]С = [г/].
Преимущество записи нормальных уравнений в виде (7.11) состоит в том, что, используя исходную систему условных уравнений (7.2), можно сразу (без промежуточных вычислений) записать систему (7.9). При этом х и А соответствуют первому члену в уравнении (7.2), у и В — второму члену, z и С — третьему члену и т.д.
Необходимо обратить внимание на две важные особенности матрицы коэффициентов при неизвестных в системах (7.9) и (7.11):
— матрица этих коэффициентов симметрична относительно главной диагонали;
— все элементы главной диагонали положительны.
В процессе решения примеров этой главы эти свойства матрицы нормальных уравнений будут подтверждаться как для совместных, так и для совокупных измерений.
Решения нормальных уравнений записываются с помощью определителей в виде
е-%- <7|2>
182
где
D
[хх] [ху] [xz] [ух] [уу] [yz] [zx] [zy] [zz]
[xl]
M M
[xz] И N
»в =
[хх]
N [zx]
[xl]
и
И
[xz]
N
[xx] [xy] [xl] M W M
N M M
Определители Z)4, Z)5, Dc получены путем замены первого, второго и третьего столбцов на столбец со свободными членами.
Погрешности полученных результатов оцениваются с помощью соотношений (7.6) и (7.7), где алгебраические дополнения равны
An =
[уу] N
[zy] [zz]
A22 -
[хх] [zx]
[zx] [zz]
^33 =
[хх] [xy] [ух] [уу]
(7.13)
При неравноточных измерениях, т.е., когда условные уравнения (7.3) являются неравноточными, в уравнении минимизации (7.4) необходимо учитывать веса ос, каждого /-го условного уравнения [10].
Пример 7.2. Рассмотрим случай равноточных измерений у и х, связанных линейным уравнением
y = a + bx. (7.14)
Искомыми величинами являются а и Ъ. Равноточность предполагает, что для всех результатов измерений і значений у. и X1 их дисперсии не зависят от величин у и х. Кроме того, предполагается, что значение X1 задается в серии измерений точно, а учитывается только погрешность определения ур в состав которой входит и погрешность, связанная с заданием величин хг
Подставив в (7.14) измеренные значения, можно получить систему уравнений
а + x{b = yv a +X2S = у2,
а + хпЬ
Для получения условных уравнений в виде (7.3) к каждому из уравнений (7.2) добавляются (или вычитаются — это все равно)
183
M И
остаточные пофешности vr После этого составляются соотношения типа (7.4):
min.
У'І[Уі-(3 + Ьх,)] =?v,2
/=1L J Ы
Для отыскания минимума функции V определяются частные производные по искомым неизвестным а и Ъ:
8V
^ = -21(^--^.) = 0, /=і
^ = -21^-5-^.) = 0.
00 /=і
После упрощения получим систему нормальных уравнений І(Уі-5-ЬХі) = 0,
/=1
^y1-S-Ox1)X1 =0.
Приведем эти уравнения к виду, удобному для вычисления неизвестных с помощью определителя:
5п + Ь =][>,;
(=1
л
(=1
3Тхі+ bHxi= Zw-
Ы 1-І M
В обозначениях Гаусса система (7.15) будет иметь вид
[ll]a+[lx]b=[ly],
[lx]5 + [xx]b = [ху]. Решая (7.15) относительно неизвестных а и b, получаем
(7.15)
/=1 /=1
аг = ы__ы
п ( п \
ы Ы J
(7.16)
ь~ = __ы-/=і /¦i
(7.17)
184
Умножая числитель и знаменатель на 1/п2 и вводя обозначения
= -2>,> у = -5>/> ^v = TE*/?/' *2 = -2>2> ^2 = *2-(*) ,
:/=i
получаем
/=1
~ X2V-XXV Г XV-XV Я =------, Ъ = —-т-^-.
(7.18)
В формулах (7.18) дисперсия S2 характеризует рассеянность точно задаваемых значений X1 около среднего значения х на оси х. Если прямая (7.14) проходит через начало координат (a = O)9 то формулы (7.18) значительно упрощаются: х = у = 0 и а = О,
Случайные погрешности оценок неизвестных а и Ь, если использовать соотношения (7.6), (7.7) и систему уравнений (7.15), будут равны [18]
= S.
5>?
/=1
D >Si=S
= s
п_ D9
(7.19)
п Г п \
2
где D = H^x2 - ?ху.
/=1 Ы J
— детерминант системы (7.15).
В данном случае CKO условных уравнений является CKO распределения у(х) и для нормального закона распределения у(х)9 может быть представлено в виде (см. (7.6))
п-т м
л - 2 м
Параметры а и Ъ выражаются через суммы всех случайных значений величин у(х) (см. формулы (7.16) и (7.17)). Поэтому закон их распределения, получающийся в результате свертки п законов распределения у(х)9 нормальный независимо от вида закона распределения у (х) [18].
Пример 7.3. Определить параметры а и Ъ в линейной зависимости у = а + Ъх9 а также случайные погрешности их измерения (систематические погрешности отсутствуют) по результатам 10 измерений, приведенным во 2-м и 3-м столбце таблицы:
185
Номер измерения */ Уі (X,)2 хіУі y*=a+bx. V2 i
1 0 2,2 0 0 1,949 -0,251 0,063
2 0,5 2,4 0,25 1,2 2,48175 0,08175 0,00668
3 1,0 3,0 1,0 3,0 3,0145 0,0145 0,00021
4 1,5 3,2 2,25 4,8 3,54725 0,34725 0,1206
