Основы метрологии: практикум по метрологии и измерениям - Пронкин Н.С.
ISBN 978-5-98704-267-4
Скачать (прямая ссылка):
Ответ. QY= 90,0 ±0,2 при P= 0,95.
Задача 6.11. В условиях примера 6.4 определить доверительный интервал для результата измерения при вероятности P= 0,9.
Ответ. A1 = (246,00±0,07) Ом при P= 0,9.
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ СОВМЕСТНЫХ И СОВОКУПНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
7.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ И ПРИМЕРЫ
7.1.1. Метод наименьших квадратов и его применение для линейных функций
Совместные измерения — одновременные измерения нескольких разноименных величин для нахождения зависимости между ними. При совокупных измерениях проводят одновременные измерения нескольких одноименных величин для нахождения зависимости между ними. Эти измерения характеризуются тем, что значения искомых величин рассчитывают с помощью системы уравнений, в которых эти величины связаны с другими величинами, определяемыми методами простых или косвенных измерений.
Уравнение совместного измерения можно представить как
где X9 у9 Z9 I — измеряемые величины; A9 B9 С — величины, которые необходимо определить.
Для нахождения, например, двух неизвестных величин можно провести два измерения и, составив систему из двух уравнений (7.1), получить их решения. Однако такой способ нахождения неизвестных величин неизбежно даст большие погрешности в определении этих величин. Поэтому для повышения точности результата измерения проводят п > т измерений, где т — число неизвестных величин. Наибольшее распространение при обработке совместных и совокупных измерений нашел метод наименьших квадратов (МНК). Разработке и применению этого метода посвящена литература [3, 10, 18, 19]. Суть его состоит в следующем.
При проведении п измерений величин х, у, z, ... и подстановке их в уравнение (7.1) получается система из п уравнений
F(A9 B9 C9 х, у, z, ...) = /,
(7.1)
F1(A9 B9 C9 ...,X1
(7.2)
179
в которых точное равенство невозможно из-за того, что измеряемые величины входят в каждое из уравнений (7.1) с погрешностями. Предположим, что А, В, С,... — наилучшие приближения к истинным значениям неизвестных Ау В, С, ... Поскольку эти оценки определены со своими погрешностями, то каждое из уравнений (7.2) будет обращаться в тождество, если к правой части добавить некоторое слагаемое vf., называемое остаточной погрешностью условных уравнений:
F1(A, B9 C9..)-1, = v,*0. (7.3)
В системе п условных уравнений (7.3) A9 В, C9 ... — оценки величин A9 B9 С, которые будут определены ниже в результате предложенного метода обработки результатов измерений. Особенность системы уравнений (7.3) состоит в том, что невозможно подобрать для всех уравнений значения V1., такие, чтобы выполнялись все уравнения одновременно. Поэтому рассматривают методы одновременной минимизации остаточных погрешностей
В соответствии с MHK оценки А, В, С, ... выбирают таким образом, чтобы обеспечить минимум суммы квадратов остаточных погрешностей условных уравнений, т.е. минимизировать величину
V = tv2= ?№ В, С,..)- /,| = min. (7.4)
/=1 ы
Очевидно, что минимум V будет иметь место при равенстве нулю всех частных производных искомых величин одновременно, т.е. при
ак = ак = ак =
дА dB дС
Полученная система из т нормальных уравнений позволяет определить наилучшие оценки искомых величин. Дисперсия условных уравнений будет равна
^2=—Iv2, (7.6)
п - т
a CKO результатов измерений искомых величин при этом могут быть определены из формул [10, 18]
180
где D — определитель (детерминант) системы (7.5); An, A22, A33, Атт — алгебраическое дополнение элементов детерминанта Aik = (-\)ukDik, Dik — минор определителя, полученный вычеркиванием і-й строки и к-го столбца.
При обосновании MHK в математической статистике предполагается, что результаты измерений удовлетворяют следующим условиям:
— значения аргументов известны точно;
— результаты измерений содержат лишь случайные погрешности, которые независимы, имеют нулевые средние значения и одинаковые дисперсии;
— погрешности измеряемых величин имеют нормальное распределение.
При этих условиях MHK дает несмещенные оценки искомых неизвестных в зависимости (7.1), имеющие минимальные дисперсии. Однако на практике перечисленные условия выполняются далеко не всегда. В частности, кроме случайных составляющих погрешностей имеют место также и систематические составляющие погрешности. (Довольно подробно вопросы различного применения MHK рассмотрены в работе [19].)
MHK используется также и для обработки неравноточных измерений. Особенности применения формул при неравноточных измерениях рассмотрены в работах [10, 17, 18].
Доверительные интервалы для истинных значений измеряемых величин строят на основе распределения Стьюдента при числе степеней свободы, равном п-т, или на основе нормального распределения, если результаты измерений можно считать нормальными.
Пример 7.1. Рассмотрим основные приемы применения MHK на примере нахождения оценок трех неизвестных А, В, С в линейном уравнении (7.1): Ax +By + Cz = I
В соответствии с (7.5) найдем частные производные и приравняем их нулю:
dV_ ЗА
It(Ax1 +By1 +Cz1 -I1)X1
0,
dV_ dB
о,
(7.8)
dV_ дС
0.
181
Решая эту систему уравнений относительно искомых переменных, получаем систему нормальных уравнений
