Физическая лаборатория - Портис А.
Скачать (прямая ссылка):
32170 70625 66407 01050 44225
91223 64238 73012 83100 92041
69007 10362 84125 08814 66785
10080 17482 05471 82273 06902
54144 51132 83169 27373 68609
23304 70453 21065 63812 29860
47880 77912 52020' 84305 02897
77316 40106 38456 92214 542781
72692 08944 02870 74892 22598
44451 25098 29296 50679 07798
99685 84329 14530 08410 4595?
01278 92830 40094 31776 41822
21847 17391 53755 58079 48498
96832 15444 12091 36690 5831?
55964 35510 94805 23422 04492
02115 33446 56780 18402 36279
84805 50661 18523 83235 5060&
07618 12910 60934 53403 18401
14038 12096 95472 42736 08573
77677 69303 66323 778Л I 22791
89575 66469 97835 66681 03!і71
50896' 10023 27220 05785 771538
47679 83001 35056 07103 63072
вычислить вероятность того, что пять выпадает раньше семи или одиннадцати?
В качестве последнего примера мы познакомим вас с таблицей случайных чисел (см. стр. 197, табл. 2). Эта таблица взята из книги «Миллион случайных чисел». Такую таблицу можно составить, если воспользоваться игральной костью, хотя на самом деле это делается с помощью электронных вычислительных машин. Японская ассоциация стандартов выпускает икосаэдральную (двадцатигранную) кость. Каждая ее грань пронумерована от 0 до 9, причем цифры встречаются дважды). Заметим, что в таблице 2
20
/О
8 3
8 л
Рис. 1.
имеется сто ячеек, каждая из которых состоит из 25 цифр. Какова вероятность того, что данная цифра встретится в ячейке п раз? Мы можем получить ответ, воспользовавшись соотношением (9), приняв /?=1/10 и N=25. В качестве упражнения выберите цифру и проведите «экспериментальное» определение Рх(п) с помощью таблицы. Результат сравните с вычислениями по формуле (9). В качестве примера мы показываем на рис. 1 частоту нахождения п нулей в каждой из ячеек по 25 цифр как функцию п. Эти экспериментальные результаты получены с помощью таблицы 2 для случайных чисел. Так как имеется 100 ячеек, вероятность Р (п)
Таблица 3
Значение Р(п)
п Теория Эксперимент п Теория Зкспери- 1 мент п Теория Эксперимент
0 1 2 3 0,072 0,200 0,266 0,226 0,05 4 0,28 5 0,23 6 ' 0,20 7 0,138 0,065 0,024 0,007 II 0,12 8 0,05 9 0,06 10 0,00 0,002 0,000 0,000 0,01 0,00 0,00
198
просто равна частоте, деленной на 100. Для сравнения мы приводим в таблице 3 результаты вычислений по теоретической формуле (9).
Какое среднее значение п мы ожидаем получить? Так как вероятность получения отдельной цифры есть р и имеется N цифр в ячейке, то
п = рЫ. (11)
Для данного случая, когда р—1/10 и ЛГ—25, мы получим л~2,5. Используя наши «экспериментальные» данные, основанные на 100 «измерениях», мы получаем я=2,51. Мы можем взять ячейки попарно, что дает нам ЛГ—50, и подсчитать число нулей в каждой
20-
10
!_1_I I I , II I_Ш_1_1
0 12 3 4 5 6 Рис. 2.
7 8
П т 171
паре. Результаты при этих условиях представлены на рис. 2. Заметим, что распределение стало более симметричным относительно своего среднего значения я=5. Было бы желательно повторить эти «эксперименты» с другой цифрой.
,ч, Теперь мы готовы к проведению опыта с физической системой. Снова соберите схему, показанную на рис. 6 Р.3.1. Приблизив источник Се137 с интенсивностью 10 мккюри к счетчику Гейгера — Мюллера, увеличьте напряжение на счетчике до появления импульсов на экране осциллографа. Затем поднимите напряжение на счетчике приблизительно на 50 в, повернув ручку потенциометра на 1/8 оборота. Теперь счетчик находится «на плато». Установите наименьшую скорость развертки и отнесите источник Се13* достаточно далеко от счетчика, так чтобы на экране осциллографа наблюдался в среднем 1 импульс за секунду. Определите число отсчетов в последовательные 10-секундные интервалы времени. Измерения проводите в течение 50 таких интервалов. Используя полученные результаты, постройте гистограмму, как это сделано на рис. 1 и 2, где частота появления п событий представлена как функция п.
Каким образом мы можем сравнить экспериментальные результаты с теорией? В формуле (9) вероятность Р (п) выражена в
199
зависимости от N, где N — максимально возможное значение п и р — вероятности отдельного события. Как мы видели, среднее число событий n=Np. Как велико N в нашем опыте с радиоактивным источником? Или, другими словами, каково максимально возможное количество событий в 10-секундном интервале? По крайней мере в практике возможно (хотя чрезвычайно маловероятно), что за это время все ядра распадутся. Таким образом, N имеет величину порядка числа ядер Cs137. Для источника в 10 мккюри N=3,5-1013. Для больших N формула (9) выражается в более простой форме.
Вспомним, как определяется основание натуральной системы логарифмов число е:
Jim \l±±]m=e+\ (12)
Для малых p мы из формулы (9) получаем
^»"^""uAr <13>
Можно с уверенностью считать, что п много меньше N. Тогда
N\f&(N)n(N—n)\ (14)
Подставляя полученное выражение в (13), мы наконец получаем
P(/iH(n)»i=f. 05)
Это распределение, называемое распределением Пуассона, не зависит от N. Используйте ваши экспериментальные данные для вычисления п. Для того чтобы получить ожидаемую частоту событий, пронормируйте Р (п), умножив ее на число ваших измерений, и затем начертите график этой функции для сравнения с полученной гистограммой. Суммируя отсчеты в последовательные 10-се-кундные интервалы, вы можете получить данные за 25 двадцатисе-кундных интервалов. Нарисуйте гистограмму для сравнения с ожидаемой частотой. Заметим, что по мере увеличения п распределение сжимается относительно п и становится все более острым. При этом распределение Пуассона (15) переходит в нормальное^ или гауссово, распределение
