Физическая лаборатория - Портис А.
Скачать (прямая ссылка):
—cos Ы—PI}- (4)
Правую часть (4) можно упростить с помощью тригонометрического тождества
cos (Л+Я)+со5 (Л—В)=2 cos Л cos В (5)
и получить
—M(0220COS (at—п$)~— 2kz0(l—cos Р) cos (tut—(6)
или
1— cosP = 2sin2i-P=lM~, (7)
что равносильно
sin^-P ^^toVMik^juAt, (8)
где At = V^M/k — задержка на низкой частоте. График ? в зависимости от co/toKp, где сокр—2/Д/ — критическая частота, дан на рис. 2. Пока % со At невелико, отставание фазы р приблизительно равно со At.
м % м % м h м % м
Z—,-
Рис. I.
Когда гА u>At приближается к единице, отставание фазы увеличивается до л и соседние массы колеблются в противофазе, как показано на рис. 3. Из уравнения (8) видно, что, поскольку максимальная величина sin %р равна единице, самая высокая частота,
137
которая может распространяться, это
*>кР=|-=2кш. (9)
Эта частота называется критической частотой линии.
Ничто не мешает нам возбуждать первую массу с частотой со,
более высокой, чем критическая частота сокр. Что произойдет, если мы сделаем это? При попытке возбудить линию на частотах выше сокр на линии возникнут противофазные колебания с экспоненциально уменьшающейся амплитудой.
В П.2.7 мы покажем, что эти ко-1Ї5 1,0 (ф>ф лебания имеют форму
Рис. 2. ZB = Z0(—l^Zee-"* COS 0>*. (10)
Делая подстановку в (1), получаем
—Мы2 (—1)" zue~na cos at = — k (—1)" z0 (2+ea+e~>-na cos со/, (II) откуда имеем выражение для затухания на одной секции
представленное на рис. 4. При больших значениях со/сокр приблизительно имеем
^. ь
(13)
1 ыкр= к 4 (о2 Лїсо2
Поведение линии при низкой частоте не очень удивительно.
Рис. 3-
Но как понять поведение линии при частоте выше критической,
когда массы колеблются в проти-вофазе, с экспоненциально уменьшающейся амплитудой?
гл-г 2л
Рис. 5.
Можно представить себе, что при высоких частотах массы возбуждаются очень слабыми пружинами, причем движение каждой
138
массы ограничено ее инерцией. Рассмотрим ситуацию, показанную на рис. 5, где масса слева колеблется с амплитудой
2п_1 = г0со5(о/. (14)
С какой амплитудой и фазой колеблется другая масса? Если частота намного превышает критическую, можно пренебречь влиянием (п+1)-й массы и остальных масс. Можем записать уравнение движения для п-и массы в виде
М -^?-\-кгп = кгп^х = &г0 соз
(15)
где мы произвели замену для 2гп_1( использовав (14). Предположим, что решение имеет вид
2п = г^соъ а>(, (16)
и подставим в уравнении (15). В результате получаем
к к
2л --
Мсоа—й 0
Мы2
(17)
Рис. 6.
где мы в знаменателе пренебрегли к по сравнению с Мо>2. Это выражение с точностью до знака совпадает с (13). п-я масса колеблется в противофазе по отношению к (я—1)-й массе с существенно уменьшенной амплитудой, пока Ма>2 велико по сравнению с к или, что равноценно, пока частота
значительно выше критичес- 1 [—
кой. Движение (/г+1)-й массы, возбуждаемой п-и массой, можно рассматривать аналогично. Она будет колебаться в противофазе относительно п-й массы с уменьшенной амплитудой.
Наши экспериментальные исследования будут касаться
электрической линии задержки, использованной в Р.2.6. Как мы видели, уравнения для зарядов на линии задержки аналогичны уравнениям для смещений на механической линии. Для того чтобы измерить сдвиг фазы на всей линии, соберите схему, показанную на рис. 6. Эта схема суммирует входной и выходной сигналы. При очень низких частотах будет иметь место очень маленький сдвиг фазы на линии. Поэтому входной и выходной сигналы будут складываться. По мере увеличения возбуждающей частоты сигнал на выходе начнет отставать по фазе от входного сигнала до тех пор, пока сигналы не окажутся точно в противофазе и не погасятся. Из-за затухания на линии выходной сигнал несколько меньше входного и будет наблюдаться небольшой остаточный сигнал. С дальнейшим увеличением частоты рассматриваемые сигналы снова оказываются в фазе и т. д. Таким образом, мы должны построить кривую, напоминающую
139
кривую на рис. 2. Получите кривую такого типа для общего сдвига фазы и сравните ее с четвертью синусоидальной волны. Вы можете обнаружить, что ближе к линейной функции частоты, чем этого можно было ожидать. Это результат индуктивной связи между секциями, которая оказывает сглаживающее влияние на линию.
Какова критическая частота? Сравните критическую частоту и время задержки, измеренное в Р.2.6, с помощью соотношения
ъ-иг- <18>
Вблизи критической частоты, возможно, понадобится дополнительное ослабление входного сигнала на осциллографе с помощью сопротивления большего, чем 5,6 ком на рис. 6.
Если доступны отдельные элементы линии задержки, можно проверить экспоненциальное затухание линии на частотах, превышающих критическую. Сравните наблюдаемое затухание с графиком рис. 4 для нескольких частот выше критической.
П рилоокение 2.7. Фазовая и групповая скорости
Чтобы рассмотреть фазовую и групповую скорости на реальной линии (линии с затуханием), удобно ввести комплексные заряды
Я
I
Я
¦лН
Рис. 7.
и токи. На рис. 7 показана линия с потерями. Типичное контурное уравнение на линии принимает вид
