Физическая лаборатория - Портис А.
Скачать (прямая ссылка):
V
У = 1Я, или / =
(3)
За положительное направление тока принято направление движения положительных зарядов. Так как положительные заряды движутся в поле, направленном от положительного полюса батареи, ток на схеме должен течь через сопротивление вниз. Но что происходит в цепи, показанной на рис. 12? Ясно, что эту задачу невозможно решить с одного взгляда. Нам потребуется несколько более систематический путь решения, который заключается в применении законов Кирхгофа:
Рис. 11.
Рис. 12.
1. Алгебраическая сумма токов в узле должна равняться нулю.
2. Алгебраическая сумма разностей потенциалов вдоль замкнутой цепи должна равняться нулю.
Первый закон Кирхгофа вытекает из закона сохранения заряда и того факта, что в узле в установившемся режиме не может быть накопления заряда.
Второй закон является следствием существования электростатического потенциала. Если мы пронесем заряд в цепи по замкнутому контуру (или в пространстве в непосредственной близости от цепи), то вся работа, произведенная над зарядом, должна равняться нулю.
Для определения токов и потенциалов цепи, изображенной на рис. 12, мы обозначим токи, протекающие через шесть ответвлений, через 1г—/в. Мы задаем направление токов, но это направление произвольно; если мы выбрали неправильное направление, решение задачи даст ток с отрицательным знаком. Удобно также указать относительные потенциалы на сопротивлениях, опираясь на принятое направление тока. (Запомните, что токи текут к более низким потенциалам.) На рис. 13 показаны принятые направления токов для цепи рис. 12.
104
При рассмотрении вышеприведенной схемы видно, что имеется четыре узла, позволяющие нам написать четыре уравнения, вытекающие из первого закона Кирхгофа. Число замкнутых контуров, равно шести, что позволяет написать с помощью второго закона Кирхгофа шесть уравне-
ний. Но у нас только шесть неизвестных! В действительности число линейно независимых уравнений для контуров равно лишь трем, и мы имеем лишь три линейно независимых уравнения для токов. Мы берем следующие уравнения для токов:
А+/2-/в=0, (4)
Л+'.-Л=0. (5)
/4-/1-/3=0. (6)
Заметьте, что ток в на- рис. 1з.
правлении узла считается
положительным, ток, текущий от узла — отрицательным. Покажите, что уравнение для четвертого узла может быть получено из трех приведенных. Три линейно независимых контурных уравнения можно записать следующим образом:
У1-/1д1-/Л—/Л=о, -Уа-/Л+/Л+/А=0,
(7) (8) (9)
Мы получили эти уравнения, обходя три независимых контура по часовой стрелке. Падение потенциала на любом элементе цепи мы записываем как разность потенциалов выходного и входного полюса этого элемента. Имеется три других контура, которые можно было бы рассмотреть. Вы можете убедиться в том, что уравнения для этих контуров являются линейными комбинациями уравнений (7), (8) и (9). Решение написанных уравнений является алгебраической задачей, и мы не будем ее касаться.
Теперь обратимся к цепи переменного тока и напишем уравнение для цепи, показанной на рис. 14.
Чтобы написать это уравнение, мы сначала должны принять несколько условий. Прежде всего будем считать потенциал источника положительным, когда верхний вывод положителен по отношению к нижнему выводу. Тогда положительное направление тока будет в направлении обхода по часовой стрелке (рис. 15).
Мы определяем заряд @ как заряд на правой обкладке конденсатора. Далее, мы знаем, что если ток увеличивается, то на индуктивности будет наблюдаться падение потенциала. Итак, мы можем
105
написать уравнение для тока в контуре в такой форме:
У0со5ю/—Ьй~ — 1К—? = 0. (10)
Решение этого уравнения подробно обсуждалось в Р. 1.8. Теперь рассмотрим цепь, изображенную на рис. 16. Как найти токи в такой
Рис. 14. Рис. 15.
цепи? Выберем положительное направление тока в соответствии с рис. 17. Теперь имеем дело с четырьмя токами и двумя зарядами.
Рис. 16. Рис. 17.
Уравнения для токов, которые вытекают из сохранения заряда, принимают теперь вид
'»-'1-^ = 0, (11)
/а-/3+^-6=о. (13)
106
Контурные уравнения имеют вид
-ЛЯ.-ЛД. + ^-О, (14)
? + О, (15)
V, созш^-Х, - 0. (16)
Если схема питается от одного синусоидального генератора (рис. 17), самое простое — это ввести комплексное входное напряжение и определить результирующие комплексные токи. Мы можем привести соображение, аналогичное приведенному в П. 1.8: вместо решения для токов с входным сигналом Уг($ мы могли бы решить уравнения для токов при входном сигнале У^). Каким бы был результирующий ток, если бы сигнал имел вид
У(^А Уху)+ВУ3(ф (17)
Из принципа суперпозиции следует, что ток в каждом элементе будет изменяться по такому же закону I(fy=AI1(f)-{~BIi(1), где I^t) и h{t) — токи, вызываемые действием напряжений Vx(/) и У2(0 на входе системы. Для удобства сделаем выбор постоянных:
A=l, B=i, ^(0=1^cos, F2(*):=V0sincof. (18)
Тогда (17) дает
V (t) = У0 (cos at + i sin Ы) = У^1Щ. (19)
Запишем токи в виде
М0 = Vй*. (20)
Тогда, например, напряжение на индуктивности можно записать следующим образом:
VL = L % = L - = (шЦ 10е™ = (шЦ I. (21)
