Физическая лаборатория - Портис А.
Скачать (прямая ссылка):
(31)
Таким элементом является индуктивность. Мы знаем, что возрастающий в индуктивности ток образует магнитное поле, которое также возрастает и вызывает противоположно направленную э. д. с. Знак индуцируемой э. д. с. такой, что она противодействует возрастанию тока. Если бы мы попытались уменьшить ток, то наводилась бы э. д. с, мешающая уменьшению тока. Индуктивность как раз похожа на инерциальную массу тем, что она препятствует любому изменению в «количестве» движения. Эта аналогия показана на рис. 5; на рис. 6 мы сравниваем обмен энергией между массой и пружиной и между индуктивностью и емкостью. На рис. 7 показана полная электрическая схема, предназначенная для наблюдения за временным ходом изменения заряда ф на емкости.
Откалибровав шкалу времени, определим частоту колебаний
ч = (32)
где Т — период колебаний.
За какое время амплитуда колебаний уменьшается до половины начального значения? Это время равно
т=1,44 и{%. (33)
61
Сравните ваши экспериментальные значения для V и т со значениями, вытекающими из формул (II), (25) и (26) для слабо демпфированных колебаний
*-5Г?Ёг- (34)
т = ^-. (35)
Сопротивление /? включает в себя сопротивление индуктивности Ь, которое вы можете померить на омметре, и внутреннее
Рис. 5. Рассмотрим массу с пружиной (а) и ?,С-цепочку (б). Растянутая пружина {«) (ее потенциальная энергия ^пот^^о^З) подобна заряженной емкости (г) (Епот= <Э*/2С). Освобождение пружины (д) подобно замыканию ключа (е).
сопротивление генератора прямоугольного напряжения. Вы можете повторить измерения с другими значениями индуктивности и емкости.
Для того чтобы изучить критическое и сильное демпфирование, поставим между генератором прямоугольного напряжения и
62
индуктивностью переменное сопротивление, как показано на рис.8. Увеличение сопротивления соответствует увеличению демпфирования. Найдем наименьшее значение сопротивления, отвечающее критическому режиму. Эта величина сопротивления равна
R=2VL/C.
(36)
Рис. 8.
ротивление генератора, дить формулу (36)?
Величина переменного сопротивления измеряется омметром. Не забудьте включить в сопротивление величину сопротивления индуктивности и внутреннее соп-какой точностью вы сможете подтвер-
Приложение 1.6. Комплексная частота
При обсуждении затухающих колебаний мы видели, что, когда время релаксации (постоянная времени, характеризующая спад экспоненты) велико по сравнению с 1/to, амплитуда убывает экспоненциально. При более сильном затухании релаксация протекает сложнее: амплитуда не является больше медленно меняющейся функцией времени и частота о) зависит от затухания. Запишем ток в обычной форме
/ = /0е-т cos (at + ф), (37)
где т, <о и ф являются функциями L, R и С. Только в пределе, когда добротность Q=V8toTg>l (или, что то же, L/R^>RC), эти функции просто равны (h — \jYLC и r=2L/R.
Чтобы решить задачу для произвольного затухания, мы должны подставить общее решение вида (37) в уравнение движения и решить его относительно параметров. Это громоздкая процедура, которая к тому же не позволяет вникнуть в сущность физического поведения системы и, в частности, в уникальное состояние критического затухания как промежуточного между сильным и слабым затуханием. Эту проблему можно очень изящно решить, - введя комплексную частоту
со ^ со -| - I (38)
(где! = Y—1) для описания зависимости тока и заряда от времени.
Из простых геометрических построений рис. 4 мы имеем следующее правило дифференцирования синуса и косинуса:
-г- sin ф = cos ф, — соэф= — sin ф. (39)
64
Мы также знаем, что для экспоненциальной функции справедливо следующее правило дифференцирования:
jLePv=peP4>. (40)
Теперь рассмотрим комплексное число
cos ф+i sin ф.
Продифференцировав это выражение, мы получим
^ (cos ф -f-1 sin ф) = — sin ф + i cos ф — i (соз ф 4- i sin ф).
Таким образом, мы можем написать тождество
cos ф + ^ sin ф == e'q>, (41)
где комплексная функция может быть дифференцируема и интегрируема в соответствии с общими правилами для экспонент с реальным аргументом.
Применим этот метод для решения нашей задачи. Допустим, что напряжение V0 вызывает ток I0=V/R, текущий через последовательно соединенные сопротивление и индуктивность. В момент ?=/0=ф/ю включим в эту цепь емкость. Ток в последующее время будет определяться формулой
/Л = Ifi-tfr cos (со/ + ф). (42)
Другое решение может быть получено при разряде емкости в момент ?=ф/о> через последовательно соединенные индуктивность и сопротивление:
/2 = 10е-*г< sin (со/ + ф). (43)
Теперь для любой комбинации начального заряда и начального тока мы можем написать ток в виде
ЛЛ+В/а. (44)
Это утверждение о линейности системы. Время увеличения приращения заряда на емкости не Зависит от начального тока или заряда, и наоборот. Рассмотрим комплексную комбинацию постоянных
А = 1, (45)
Используя наши прежние рассуждения о комплексных функциях, мы видим, что можем интерпретировать полученное решение как комплексный ток
/ (0 = /0(Г "V «в(+<р) = /0е< <5'+ф\ (46)
где и—(fl+i/t — комплексная частота, упоминавшаяся выше. Но этот ток должен быть решением уравнения
