Физическая энциклопедия Том 4 - Порохов А.М.
Скачать (прямая ссылка):
X2 — критерий Пирсона. Как известно,; ф-ция плотности вероятности мультиномипальиого распределения, к-рому подчиняются числа еобытнй В би-’ ках (каналах) гистограммы, В асимптотике по числу событиё сходятся к ф-ции плотности вероятности нормального распределения. Это позволяет поиазать, что статистика
W
a =^dXPxt(X).
674
где Ия — число событий в і-м бине гистограммы, Ar — ЧИСЛО бинов, N — полное ЧИСЛО событий, Pi — вероятность попадания события в 1-й бия, согласно гипотезе H0, распределена по х2“РаспРеДелеиию — 1 степенями свободы. Выбирая (1) в качестве проверочной статистики и критнч. область Xe < X < оо, получаем /2-критерий Пирсона с уровнем значимости
Критерий серий использует информацию
0 знаках разностей я* — Npi, к-рая теряется в х3-крн-терин. Бели гипотеза H0 полностью определена (простая гипотеза), то критерий серий ие зависит от х9-критерия для той же самой гистограммы н несёт независимую дополнит, информацию. Назовём серией последовательность отклонений nt — Npi одного зиака. Еслн гипотеза H0 верна, то оба вида знаков отклонений равновероятны. Это позволяет вычислить распределение вероятности для числа серий R. Выбирая в качестве проверочной статистики величину R н в иачестве крнтнч. области R ^ Rc прн P(R ^ Rc) = а, получим критерий серкй с уровнем значимости а.
Более эфф. критериями проверки гипотезы H0 являются критерия, предложенные Н. В. Смирновым H
А. Н. Колмогоровым. Они используют в качестве проверочных статистик разл. «расстояния* между эиспе-рнментальной (выборочной) ф-цией распределения { 0 , г<жх ^^{^) ~| n/N,
{ I , X$:XN
и ф-цией распределения F0(X)f отвечающей гипотезе H0.
Критерий Смирнова— Крамера — M н з е с а в качестве проверочной статистики использует ф-ЦНЮ
dx[FN (х)-F0(X)] V(x),
где f(x) — плотность ф-цни распределения F0(x). Н. В. Смирновым вычислена плотность распределения вероятности величины NWi в асимптотич. пределе N ОQ,
Критерий Колмогорова кспользуёт в качестве проверочной статистики ф-цию
VFZJjv=Vrmax |/л(*)—^o(*)N
аснмптотнч. распределение к-рой было получеяо Колмогоровым. Численные значения ф-цин распределения NWi и IrNVff можио найти в (1], Др. критерия проверки гипотезы H0 можио найти в [1—3].
Пусть теперь кроме гипотезы H0 есть альтернативная простая гипотеза H1 н стоят задача выбора одной нз пих на основании вектора измерений х. В этом случае вводится величина, называемая мощностью критерия, к-рая определяется как вероятность 1 — р попадания X в крнтич. область <о, когда верна гипотеза Hi, т. е.
1 — р= /*(Х ^ <ui#i). Мощность прямо связана с ве-
роятностью принятия ложной гипотезы (ошибка 2-го рода): р = Р(Х (j Q — Wltf1). Мощность позволяет
сравнивать критерии между собой: иаклучшим критерием для сравнения H0 ш H1 с данным уровнем значимости а служит критерий с макс. мощностью. Задачу поиска наиб, мощного критерия можно свести к задаче нахождения найлучшей притич. области в Х-прост-рапстве. Решением последней задачи является критерий Неймана — Пирсона: еслн
lN(x\H0,H1) > Ca, то принимается H1; еслн Ipi(XlHoiH1) ^ Ca, то принимается H0. Здесь In (ж Itf0^1) = Ы(х\ H-^jf N(x\ H0) — отношение правдоподобия, /jv(*|tfi) — ф-ция плотности вероятности X, еслн справедлива гипотеза Hi, a Ce выбрано тапим образом, чтобы выполнялось условие j* dxfN (х IHв) = а.
OJ
Область <о состоят из тех точек пространства Q, в к-рых Ix IHotH1) принимает наиб, значения, критерии иаз. состоптельиым, если Iim P(Afgwitf1)=I,
N-*00
т. е. еслн критерий с ростом числа наблюдений всё
лучше разделяет гипотезы. Критерий паз. несмещённым, если для любой альтернативной гипотезы H1 крнтич. область выбрапа так, что Р(х ? w | H1) >
Бели гипотеза H0 илн H1 (илн обе) не являются полностью определёнными (сложные гипотезы), то не существует оптим. метода конструирования паидучшего критерия. На практике в качестве проверочной статистики обычпо используется отношение максимумов правдоподобия [2].
Лит.: 1) Большее JI. H., Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики, 3 изд.. М., 1983; 2) статистические методы в экспериментальной физике, пер. с англ., М., 1976; 3) Кендалл М., Стьюарт А., Статистические выводы и связи, пер. с англ., М., 1973.
В. П. Жигунов, С. В. Клименко.
СТАТИСТИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР (матрица плотности) — оператор, с помощью к-poro можно вычнелкть ср. значение любой физ. величины в квантовой механике и пвантовой статистич. физике. С. о. описывает состояние системы, не основанное на полном (в смысле квантовой механики) наборе данных о системе (смешанное состояние). Подробнее CM. Матрица плотности.
СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ — одни из осн. разделов матем. статистипи, посвящённый оцениванию параметров теоретич. моделей по косвенным измерениям нли распределений случайной величины х по наблюдению её реализаций. Если предполагается, что распределепне пвляется злемептом параметрич. семейства р(х|л), то возникает Задача па раметрнче-ского оцепивавня. Когда вид распределения неизвестен, говорят о задаче пепараметриче-ского оценивания. При параметрич. оценивания различают два подхода: точечное оценивание и интервальное оценивание.
