Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
библиография работ, относящихся к динамическим методам Гамильтона, до
работ НоиёГа была дана Cayley (Brit. Ass. Report, 1857, стр. 40).
[126] Статья Гамильтона "On the application to Dynamics of a general
Mathematical Method previously applied to Optics" была напечатана в
"Report of the Fourth Meeting of
ПРИМЕЧАНИЯ
the British Association for the Advancement of Science" held at Edinburgh
in 1834", London, 1835, стр. 513-518; перепечатана в "The Mathematical
Papers", т. 2, Dynamics, Cambridge, 1940, стр. 212-216.
Во втором очерке Гамильтон заменяет название "вспомогательная" функция на
"главная".
[127] Строгая формулировка принципа Гамильтона такова (Р. Курант и Д.
Гильберт, Методы математической физики, т. I, ГТТИ, 1934, стр. 234): в
течение промежутка времени между моментами /0 и 11 движение системы
происходит так, что функции qi (t) делают стационарным интеграл
/ = J (Т - U) dt
и
по сравнению с такими достаточно близкими функциями qt (t), для которых
qi (f0) = qt (t0) и q, (tJ = q| (fx), или, другими словами: при
действительном движении интеграл I имеет стационарное значение по
сравнению со всеми достаточно близкими возможными движениями, при которых
система в течение заданного промежутка времени перемещается из того же
начального положения в то же самое конечное положение, как и для
действительного движения.
После того как дифференциальные уравнения движения написаны на основании
вариационного принципа Гамильтона, возникает вопрос об их фактической
интеграции. Для этой цели Гамильтоном и Якоби развита специальная теория.
Эта теория имеет особое значение для небесной механики и для классической
теории атома Бора-Зоммерфельда. Построение этой теории должно было
заключать в себе три последовательных этапа. Прежде всего необходимо было
найти возможно более простую форму дифференциальных уравнений движения.
Эта форма была найдена в канонических уравнениях Гамильтона. Затем надо
было установить общие законы таких преобразований этих дифференциальных
уравнений, при которых они сохраняли бы свою форму. Такими законами
оказались канонические преобразования и теория важнейших их инвариантов.
Наконец, надо было развить собственно теорию интегрирования систем
канонических уравнений. Решение этой задачи привело к установлению и
интегрированию уравнения в частных производных Гамильтона-Якоби.
Первое систематическое изложение этих вопросов дал К. Якоби в своих
замечательных "Лекциях по динамике".
[128] термин "Marks of position" см. прям. 74.
[129] Если мы имеем динамическую систему с N степенями свободы,
координатами х1г х2,..., х и функцией Гамильтона Н (х1(..., xNt plt...,
р,, t), то мы знаем, что уравнения движения имеют вид
dxr дН_ dpг_ _ ЭН
dt ~ дрг ' dt - Эхг ^
и что связанное с системой гамильтоново уравнение в частных производных
будет:
QV ( dV \
- + Я(х,-,f)= °. (2)
Если мы знаем полный интеграл этого уравнения, то можем легко вывести
основную функцию Гамильтона.
Пусть / (х1,..., xN, t, а1г..., а,\) + <Tv+i является полным интегралом
(2) и положим:
S = / (х, f, а) - / (х°, t°, а), (3)
где х°г, tB - данные значения xr, t. С уравнением (3) сочетаем уравнения
_9S- = _9/_ _ _Э/о_ п
даг даг да,- ' w
в которых для краткости /(х°, t°, а) заменено на /0. Число уравнений (4)
как раз достаточно для того, чтобы выразить а через х,-, t и х", f°, и,
подставив эти значения в (3), мы получим S как функцию переменных xr, t,
хг°, /°. Сначала покажем, что о есть интеграл уравнения (2), который мы
назовем интегралом Гамильтона.
Непосредственно имеем :
9S _ 9/ 9S дат 9/
9f dt + дат Qt ~ dt '
9S _ 9/ 9S 9ат __ 9/
Эхг 9хг дат дх,- ~~ дхг '
57•
900
ПРИМЕЧАНИЯ
где повторяющийся индекс т обозначает суммирование от 1 до N. Поскольку /
(х, t, а) удовлетворяет (2), заключаем, что
as
э/
т. е. что S также есть интеграл. S есть полный интеграл, зависящий от N +
1 произвольных постоянных х", t°.
Покажем далее, что интеграл Гамильтона
S (х, t, х°, /°)
есть гамильтонова главная функция.
Рассмотрим уравнения
JL д/о
даг даг ' (5)
в которых а - произвольные постоянные. Так как /(*, t, а) есть полный
интеграл, то детерминант
92/ да,- dxs
отличен от нуля, и уравнения (5) могут быть решены относительно хг:
Xr = Xr (t, t°, х°, а). (6)
Кроме того, из (5) очевидно, что xr = x?r, t = t° удовлетворяют
этим уравнениям и
поэтому в уравнении (6) хг приводится к когда t = t°. Если мы также
положим
т
и соединим последнее уравнение с уравнением (6), то получим следующую
систему уравнений;
X-= Хг (/, *°, х", а), )
Pr = Pr (t, х°, х°, а). )
Покажем, что (8) есть общее решение уравнений движения (1). Из уравнения
(5) следует:
^ 02/L = о (9)
9ar 9xs dt + dardt { 1
Но мы имеем :
-f+ *",",0-0. (10)
для всех значений а. Поэтому
Э2/ 9 Н д2/
= 0, (11)
9a, dt dps даг dxs и из уравнений (9) и (11) получим,
dxr _ 9 Н dt 9 рг
Также из уравнения (7) получим :
dpr = 92/ '92/ fc = 92/ 92/ 9Я
dt dxrdt dxrdxs dt dxrdt 9xr9xs 9ps
