Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 431

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 425 426 427 428 429 430 < 431 > 432 433 434 435 436 437 .. 461 >> Следующая

интегрируемыми,, т. е. система не "голономна", ср. Больцман, указ. соч.,
стр. 119, 212).
Таким образом, вместо (2) имеем:
JT (fr, i dxr + цг, i dyr + Cr, i dzr) + 6idt = Q, (3)'
Г
или, что то же самое,
dxr - pv, r dqv 4~ pr dt, .., f
V
где qv суть независимые друг от друга параметры ("обобщенные
координаты>>), если вместо
(3) можно было бы составить конечные уравнения условий вида (2); тогда
гd(pi , ,
I - "О-- + • ¦ • > ' - -
Эхх '' ' ' dt
Точно так же легко можно видеть, что когда дг есть вариационный
процесс, при
котором
S±xr = 0,
мы приходим к принципу
JT [(Хг - ШгХ г) S^r + ... ] = О,
Г
который является, так сказать, промежуточным между (А) и
(В), но который не ведет,
как (В), к новым уравнениям в обобщенных координатах (ср. J о u
г d a i n, Quart.
Journ. of Math., Jan. 1909).
Дж. В. Гиббс (см. указ. соч.) независимо от Гаусса и из совершенно других
соображений вывел принцип
Z [(Хг - ГПг Хг) S2Xr + ... ] =s О,
\(и- ~
где U есть силовая функция, a uf = хг -(- у, + zr. Гиббс ищет в динамике
метод, аналогичный методу Лагранжа в статике, который основывался бы на
принципе возможных перемещений, то есть не был бы простым сведением
динамики к статике через принцип Д'Аламбера. В том случае, когда имеются
налицо только уравнения связей, Гиббс дает (там же, стр. 63-64, однако с
весьма неясными обозначениями: а вместо 8, V вместо Т, ?2Г вместо Qv, со"
вместо (/,) новые уравнения движения:
дТ =Q, (v= 1,2, ...), (4)
dqv где
Г = 4^/7г'-"г-
В 1899 г. П. Аппель опубликовал статью "Les mouvements de roulement en
dyna-mique", C. R., т. CXXIX, 1899, стр. 317-320, 450-460. (Вместо T
Аппель пользуется обозначением S.) Аппель делает существенное замечание,
что принцип Гамильтона не
'890
ПРИМЕЧАНИЯ
становится неприменимым для неголономных систем, как уравнение Лагранжа,
когда некоторые координаты (хг, у,, г,) могут быть выражены только не
интегрируемыми дифференциальными уравнениями dx, = 2 Pr,vdqv + prdt,... с
параметрами qlt.qn- Такие
уравнения связей были лишь вскользь отмечены Лагранжем (ср. J о u г d a i
n, Bib. Math., т. VI, 1906, стр. 350-352) и подробно рассмотрены Фоссом в
1884 г. (но без указания, что они имеют место также и при качении). Что
они имеют место в случаях, когда тело катится без скольжения, было
замечено Раусом, Феррерсом, К. Нейманом, Герцем и др. Механическую
систему, которая частично подчинена таким условиям, Герц назвал
"неголономной".
Аппель заключает из
это является условием того, что значения приводят величину R к минимуму.
Наоборот, если найденные таким образом значения qv приводят величину R к
минимуму, то однородные члены второй степени от R происходят из Т и
образуют положительную квадратичную форму. На том же основании мы
заключаем, что ускорения приводят функцию
к минимуму, а это есть принцип Гаусса.
Наконец, Ф. Э. В. Журден ("Math. Gazette, т. II, 1903, стр. 337-340)
независимо от Гиббса и Аппеля ввел обобщенные координаты в формулу
и нашел уравнения (4). Но когда он затем узнал об открытии Аппеля, что
уравнения (4) охватывают неголономные связи, он доказал, что эти
уравнения согласуются с обобщенными уравнениями Лагранжа (см. N. М.
Ferrers, Extension of Lagranges equations, Quart. Journ. of Math., т.
XII, 1873, стр. 1, 5):
и притом лишь тогда, когда система голономна. Принцип Гаусса в
модифицированной редакции, что силы X, Y, Z, которые в понимании
"динамики без сил" Герца исключены (ср. A. Voss, Encycl. d. math. Wiss.,
т. IV, 1, стр. 62-64, 85), образует единственный основной закон Герца
(Gesam. Werke, т. III, Лейпциг, 1894, № 309, 344-346). Ср. О. Гёльдер, О
принципах Гамильтона и Мопертюи, стр. 538 настоящей книги.
Обобщенное определение силы и ее меры, данное JI. Кенигсбергером (Die
Prinzipien der Mechanik, Mathem. Untersuch., Leipzig, 1901; Voss,
Encycl., указ. статья, стр. 91), привело к тому, что обобщенный принцип
Гамильтона принимает форму
V
дх, = 2 p,,vdq,,
что принцип Д'Аламбера ведет к п уравнениям
(v = 1,2, ... , п)
и тем самым также к уравнению (4). Если мы образуем функцию
R = Т 2 Qv qv,
то можно написать уравнения
\2^г[(тГх,-Хг)*+ ...
2[(Xr-tn,Xr)d2Xr+ ...] =0
последний член которых может быть приведен к
ПРИМЕЧАНИЯ
891
<(Кенигсбергер, указ. соч., стр. 47-54). Кенигсбергер дал также
обобщенный принцип наименьшего принуждения Гаусса (там же, стр. 67-73) и
расширенный принцип наименьшего действия (там же, стр. 73-82).
[и] Поясним это замечание Гаусса.
В способе наименьших квадратов определяется сумма квадратов
индивидуальных ошибок т измерений п параметров, причем т > п, и значения
параметров проблемы определяются из принципа, что зта сумма должна быть
минимумом.
Принцип наименьшего принуждения заключает Зп членов суммы, образующей Z,
которые соответствуют Зп наблюдениям. Это число больше числа неизвестных
iji в силу т заданных кинематических условий. "Ошибка" представлена
отклонением величины действующей силы от силы инерции. Множитель 1/пг,-
Предыдущая << 1 .. 425 426 427 428 429 430 < 431 > 432 433 434 435 436 437 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed