Реликтовый фон, относительность, динамика, спин - Пилепских Н.
ISBN 978-3-659-23496-5
Скачать (прямая ссылка):
(9) заменить на кулоновскую постоянную (4лей )-1, где е„ - электрическая постоянная, то последующие рассуждения будут относиться к частицам e и n, взаимодействующих по закону Кулона.
Далее, для простоты изложения, удобно использовать терминологию и понятия, сформировавшиеся в теории и практике спина.
100
Из (9)-(10) следует, что сила взаимодействия частиц e и n состоит из четырех компонентов. Именно: первое слагаемое в (8) соответствует релятивистской проблеме Кеплера скалярных частиц [4]; второе слагаемое, пропорциональное Se, отвечает спин-орбитальному взаимодействию; третье слагаемое, пропорциональное Sn, описывает влияние спина неподвижной частицы на состояние движения движущейся; последнее, пропорциональное произведению SnSe , соответствует спин-спиновому взаимодействию частиц.
Если (9) скалярно умножить на ps, а затем на v, то, после несложных преобразований, уравнение (9) запишется [4]
d/ I 2 , 2\ ^ d ( 1 Y, ( ) Sn th (v/c0 )± Se/ (m0ec0 ) П1Ч
dt+v)-ащ‘”'•-?и 1‘-,n-^mc.i±sj<ф,)у (11)
В связи с видом (11) сделаем несколько замечаний.
1). Если в условиях задачи влиянием спина Sn частицы n на динамику частицы e можно пренебречь (в частности, если Sn = 0), то (9) сводится к первому интегралу «энергия» релятивистской проблемы Кеплера для скалярной частицы [4] - «энергия» частицы e оказывается не зависящей и от ее спина Se. Другими словами, энергия частицы e вырождена относительно спин-орбитального взаимодействия. Однако, как следует из (11), это вырождение снимается как при условии Sn ф 0, так и при воздействии на систему внешнего поля.
2). Введем параметры ve и vn соотношениями th (ve/c0 ) = Sj(m0ec0) и th (vn/c0 ) = SJ(m0nc0 ) . Тогда соотношение (11) примет вид:
m0ec0 dt У c02 + v' ) = Gm0em0n d ^- j,^ - (nv, n»n ) th ^^^ th ^^]) . ( 1 ^)
Если взять от обеих частей (12) неопределенный интеграл по t (правую часть проинтегрировать по частям), то получится первый интеграл Е - энергия двух ориентируемых частиц, взаимодействующих по закону Кулона
v ± v
(nv, n Sn )th
dt\, (13)
E = E0 (r, v)-m0e th 1^(r )(nv, n sn )th -\v(r
c0 I c0
где E0 (r, v ) = m0ec0^J c02 + v2 + m0e@(r) аналог энергии скалярной частицы в
гравитационном поле точки; <p(r) = am°L - гравитационный потенциал; штриху
r
квадратной скобки - дифференцирование по времени t.
3). Примем, что вектор S ориентируемой частицы направлен или по, или против направления 3-вектора ее скорости. Естественно допустить, что частица n, покоясь в лабораторной (собственной) системе отсчета, находится вместе с лабораторией в «абсолютном» движении с некоторой скоростью vn. Из этого следует, что вектор Sn частицы n ив лабораторной системе отсчета либо параллелен, либо антипараллелен вектору vn. Следовательно, вектор ориентации Sn частицы n фиксирован относительно лабораторной системы
101
координат. В случае финитного движения частицы e в «поле» частицы n скалярное произведение (v, nsn) является функцией времени, близкой к периодической.
4). К соотношению (13) следует относиться с осторожностью до обсуждения проблемы устойчивости динамической системы (12) [5].
Если составить векторное произведение вектора r с правой и левой частью уравнения (9), то, после несложных преобразований [4], получится интеграл движения - момент импульса для проблемы Кеплера ориентируемой частицы
L = [—sh—± Se ch(m0evxr). (14)
^ v co moev co J
Из вида (14) следует, что вектор Se, несмотря на его «квантованность» относительно направления движения частицы, является не только собственной (определяемой в собственной системе отсчета) но и «орбитальной» характеристикой: при v ^ 0 момент импульса принимает вид L = Se xr.
12.4. Ориентируемая заряженная частица в магнитном поле
Теперь рассмотрим поведение ориентируемой частицы с зарядом q0 и массой m0 в магнитном поле с индукцией B. Пространственная часть уравнения ее движения в полевых терминах запишется в виде [6]:
^ = ^p xB, (15)
dr m0
где p - трехмерный вектор импульса частицы; как и ранее dr = dtj 1 + v2/c2; x -символ векторного произведения.
Если B = (0,0,В0), то уравнение (15) сведется к паре уравнений для свободного гармонического осциллятора
~T~2~+a>lp* = 0, d-Tpr+®оЧ = 0, (16)
dr dr
q0 B0
где a>0 =~^ljl - циклотронная частота.
0 m0
Решение системы уравнений (16) при начальных условиях py (0) = о и
px (0) = p0 = m0c0 sh (v/c0) ± S ch (v/c0), запишется
px T = Pоcos(®оT, (17a)
py (T) = posin K7) (176)
что соответствует круговому движению заряженной частицы в магнитном поле с радиусом, зависящим от модуля вектора ориентации.
12.5. Обсуждение
В работе показано, что введение вектора ориентации как характеристики точечной частицы в ее собственной системе отсчета является физически содержательным, и при этом можно усмотреть некоторую аналогию между ориентацией частицы и ее спином. Однако налицо и существенные отличия.
102
Как следует из (1) - определения S, а также из соотношения (14), вектор ориентации является «импульсом покоя», а не моментом импульса, как спин
[7].
Другим существенным отличием вектора ориентации частицы от спина в классической механике [7] является то, что, следуя логике данной работы, необходимо сделать вывод о безинерционном следовании вектора ориентации за вектором скорости частицы, хотя траектория частицы (и вектор скорости, соответственно) зависят от вектора ориентации через уравнения движения частицы.
